Esercizio sui vettori
dire se esistono e in caso affermativo trovare due vettori u e v di $RR^5$ tali che $||u||=sqrt(2)$ , $||v||=sqrt(\pi)$ e $u*v=sqrt((5/2))+sqrt(\pi)$
chi mi spiega come procedere per cortesia??
grazie mille
chi mi spiega come procedere per cortesia??
grazie mille
Risposte
Ricorda che dev'essere $u * v le ||u|| * ||v||$.
a parte questo..per esercizi di questo tipo come devo procedere?
Immagino che tu possa calcolare il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori (tramite la formula $cos = (u*v)/(||u||*||v||)$), quindi prendere uno dei due angoli che hanno quel coseno (chiamiamo $alpha$ tale angolo) e costruire due vettori della norma richiesta tali che l'angolo compreso sia $alpha$.
"Martino":
Immagino che tu possa calcolare il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori (tramite la formula $cos = (u*v)/(||u||*||v||)$), quindi prendere uno dei due angoli che hanno quel coseno (chiamiamo $alpha$ tale angolo) e costruire due vettori della norma richiesta tali che l'angolo compreso sia $alpha$.
ok..e poi che dovrei fare??
scusami, ma ho bisogno di spiegazioni, grazie
"leffy13":
[quote="Martino"]Immagino che tu possa calcolare il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori (tramite la formula $cos = (u*v)/(||u||*||v||)$), quindi prendere uno dei due angoli che hanno quel coseno (chiamiamo $alpha$ tale angolo) e costruire due vettori della norma richiesta tali che l'angolo compreso sia $alpha$.
ok..e poi che dovrei fare??
scusami, ma ho bisogno di spiegazioni, grazie[/quote]
Una volta costruiti i due vettori hai finito perché hai dimostrato che esistono.
Cosa non ti è chiaro? Vuoi un esempio?
si martino per favore..grazie mille
Intanto risolviamo il problema in $RR^2$. Poi con un'astuzia generalizziamo a $RR^5$.
Per esempio: "trovare due vettori u e v in $RR^5$ tali che $u*v = 2$ e $||u||*||v||=3$. Notiamo che due vettori siffatti esistono poiché $(u*v)/(||u||*||v||)=2/3$ è un coseno (cioè è compreso tra -1 e 1). Ora naturalmente possiamo fissare u a piacere (la sola cosa importante è la posizione relativa di u e v). Se ci sarà da cambiare qualcosa, non sarà certamente la sua direzione ma solo la sua norma. Scegliamo semplicemente
$u=((1),(0))$
Naturalmente un vettore del tipo $((cos(alpha)),(sin(alpha)))$, dove $alpha in [0,pi]$, forma un angolo $alpha$ con u (puoi vederlo sulla circonferenza goniometrica). Cerchiamo un vettore w di questo tipo (poi ne aggiusteremo la norma per ottenere il v richiesto). Noi vogliamo che $cos(alpha)=2/3$, quindi poiché vogliamo $alpha in [0,pi]$ sceglieremo $sin(alpha)=sqrt{5}/3$ (sto cercando un $alpha$ in $[0,pi]$ perché preferisco avere un angolo tra $0$ e $pi$). Quindi prendiamo
$w=((2/3),(sqrt{5}/3))$
Ora, questi due vettori ($u$ e $w$) sono tali che $||u||=||w||=1$ e $u*w=2/3$. Ne segue che se moltiplichiamo uno tra u e w per 3 abbiamo quello che volevamo: $||u||*||3w||=3||u||*||w||=3$ e $u*w=2/3*3=2$. Quindi basta scegliere
$v=3w=((2),(sqrt{5}))$.
Ora per risolvere il problema in $RR^5$ è sufficiente scegliere
$u=((1),(0),(0),(0),(0))$, $v=((2),(sqrt{5}),(0),(0),(0))$
Cioè, mantenendo le due prime componenti e scegliendo le altre nulle, abbiamo l'analogo in $RR^5$ di quello che abbiamo in $RR^2$. La spiegazione geometrica è questa: le richieste del problema sono "2-dimensionali": possiamo cercare tali due vettori in un qualsiasi sottospazio di $RR^5$ di dimensione 2 e poi guardarli di nuovo in $RR^5$.
Per esempio: "trovare due vettori u e v in $RR^5$ tali che $u*v = 2$ e $||u||*||v||=3$. Notiamo che due vettori siffatti esistono poiché $(u*v)/(||u||*||v||)=2/3$ è un coseno (cioè è compreso tra -1 e 1). Ora naturalmente possiamo fissare u a piacere (la sola cosa importante è la posizione relativa di u e v). Se ci sarà da cambiare qualcosa, non sarà certamente la sua direzione ma solo la sua norma. Scegliamo semplicemente
$u=((1),(0))$
Naturalmente un vettore del tipo $((cos(alpha)),(sin(alpha)))$, dove $alpha in [0,pi]$, forma un angolo $alpha$ con u (puoi vederlo sulla circonferenza goniometrica). Cerchiamo un vettore w di questo tipo (poi ne aggiusteremo la norma per ottenere il v richiesto). Noi vogliamo che $cos(alpha)=2/3$, quindi poiché vogliamo $alpha in [0,pi]$ sceglieremo $sin(alpha)=sqrt{5}/3$ (sto cercando un $alpha$ in $[0,pi]$ perché preferisco avere un angolo tra $0$ e $pi$). Quindi prendiamo
$w=((2/3),(sqrt{5}/3))$
Ora, questi due vettori ($u$ e $w$) sono tali che $||u||=||w||=1$ e $u*w=2/3$. Ne segue che se moltiplichiamo uno tra u e w per 3 abbiamo quello che volevamo: $||u||*||3w||=3||u||*||w||=3$ e $u*w=2/3*3=2$. Quindi basta scegliere
$v=3w=((2),(sqrt{5}))$.
Ora per risolvere il problema in $RR^5$ è sufficiente scegliere
$u=((1),(0),(0),(0),(0))$, $v=((2),(sqrt{5}),(0),(0),(0))$
Cioè, mantenendo le due prime componenti e scegliendo le altre nulle, abbiamo l'analogo in $RR^5$ di quello che abbiamo in $RR^2$. La spiegazione geometrica è questa: le richieste del problema sono "2-dimensionali": possiamo cercare tali due vettori in un qualsiasi sottospazio di $RR^5$ di dimensione 2 e poi guardarli di nuovo in $RR^5$.
"Martino":
Intanto risolviamo il problema in $RR^2$. Poi con un'astuzia generalizziamo a $RR^5$.
Per esempio: "trovare due vettori u e v in $RR^5$ tali che $u*v = 2$ e $||u||*||v||=3$. Notiamo che due vettori siffatti esistono poiché $(u*v)/(||u||*||v||)=2/3$ è un coseno (cioè è compreso tra -1 e 1). Ora naturalmente possiamo fissare u a piacere (la sola cosa importante è la posizione relativa di u e v). Se ci sarà da cambiare qualcosa, non sarà certamente la sua direzione ma solo la sua norma. Scegliamo semplicemente
$u=((1),(0))$
Naturalmente un vettore del tipo $((cos(alpha)),(sin(alpha)))$, dove $alpha in [0,pi]$, forma un angolo $alpha$ con u (puoi vederlo sulla circonferenza goniometrica). Cerchiamo un vettore w di questo tipo (poi ne aggiusteremo la norma per ottenere il v richiesto). Noi vogliamo che $cos(alpha)=2/3$, quindi poiché vogliamo $alpha in [0,pi]$ sceglieremo $sin(alpha)=sqrt{5}/3$ (sto cercando un $alpha$ in $[0,pi]$ perché preferisco avere un angolo tra $0$ e $pi$). Quindi prendiamo
$w=((2/3),(sqrt{5}/3))$
Ora, questi due vettori ($u$ e $w$) sono tali che $||u||=||w||=1$ e $u*w=2/3$. Ne segue che se moltiplichiamo uno tra u e w per 3 abbiamo quello che volevamo: $||u||*||3w||=3||u||*||w||=3$ e $u*w=2/3*3=2$. Quindi basta scegliere
$v=3w=((2),(sqrt{5}))$.
Ora per risolvere il problema in $RR^5$ è sufficiente scegliere
$u=((1),(0),(0),(0),(0))$, $v=((2),(sqrt{5}),(0),(0),(0))$
Cioè, mantenendo le due prime componenti e scegliendo le altre nulle, abbiamo l'analogo in $RR^5$ di quello che abbiamo in $RR^2$. La spiegazione geometrica è questa: le richieste del problema sono "2-dimensionali": possiamo cercare tali due vettori in un qualsiasi sottospazio di $RR^5$ di dimensione 2 e poi guardarli di nuovo in $RR^5$.
ok grazie mille..un'ultima cosa, fai l'esempio nel caso dell'esercizio che ho scritto
Nel tuo esempio i due vettori richiesti non esistono perché risulta $u*v > ||u||*||v||$.
"Martino":
Nel tuo esempio i due vettori richiesti non esistono perché risulta $u*v > ||u||*||v||$.
ok..grazie di tutto
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