Esercizio sui sottospazi (Geometria 1)

[Help2]

Testo:
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"Si consideri il seguente sottospazio vettoriale:
$W={(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)inR^5 |$ $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0}$

Si decomponga $W$ nella somma diretta di due sottospazi $W_1$ e $W_2$. Quante sono le risposte possibili? Si provi ad elencarne almeno due diverse."
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Qualcuno potrebbe risolverlo? L'unica cosa di cui sono sicuro, è che l'intersezione dei due sopttospazi debba essere il vettore nullo, perchè la loro somma possa essere diretta.

Grazie.

[miuemia]

osserva che $W$ è un iperpiano di $RR^5$ quindi ha dimensione quattro e adesso hai che:
$4=1+1+1+1+=2+2+=3+1$...
ciao ciao

[gugo82]

"miuemia":osserva che $W$ è un iperpiano di $RR^5$ quindi ha dimensione quattro e adesso hai che:
$4=1+1+1+1+=2+2+=3+1$...
ciao ciao

Giusto. Puoi decomporre $W$ in somma diretta di:

1) quattro rette (vettoriali) distinte;
2) due piani (vettoriali) distinti senza rette in comune;
3) di una retta (vettoriale) ed un sottospazio di dimensione tre che non contiene la retta scelta.

Per trovare qualche decomposizione basta determinare quattro vettori di $W$ linearmente indipendenti: detti $u_1,u_2,u_3,u_4$ tali vettori, puoi scrivere:

1) $W=<{u_1}>+<{u_2}>+<{u_3}>+<{u_4}>$,
2) $W=<{u_1,u_2}>+<{u_3,u_4}>$,
3) $W=<{u_1,u_2,u_3}>+<{u_4}>$,

ove $$ è il sottospazio di $RR^5$ generato da $S$.