Esercizio sui Sottospazi
Si consideri il seguente sottoinsieme dello spazio vettoriale $RR^3$
$S={(1,0,1),(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0)}$
Si provi che è linearmente dipendente e si determini la dimensione, una base, e le equazioni nel riferimento naturale del sottospazio di $RR^3$
Allora per quanto riguarda la dipendenza lineare sono riuscito a verificarlo da solo, ora però mi sono un attimo bloccato sulle ultime tre richieste, forse perchè non ho ben capito dove devo operare.
Ad esempio ho trovato che ${(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0)}$ è un sistema lin.IND. di rango 3, e giustamente mi trovo che la dimensione è 3, che sarebbe quella dello spazio ambiente e poi come mi devo muovere?
Datemi solo una dritta senza svolgimento, giusto per capire dove applicare le regole...
Grazie
$S={(1,0,1),(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0)}$
Si provi che è linearmente dipendente e si determini la dimensione, una base, e le equazioni nel riferimento naturale del sottospazio
Allora per quanto riguarda la dipendenza lineare sono riuscito a verificarlo da solo, ora però mi sono un attimo bloccato sulle ultime tre richieste, forse perchè non ho ben capito dove devo operare.
Ad esempio ho trovato che ${(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0)}$ è un sistema lin.IND. di rango 3, e giustamente mi trovo che la dimensione è 3, che sarebbe quella dello spazio ambiente e poi come mi devo muovere?
Datemi solo una dritta senza svolgimento, giusto per capire dove applicare le regole...
Grazie
Risposte
Beh,se la dimensione è 3,in uno spazio a dimensione 3,e i vettori sono linearmente indipendenti,essi sono una base di $R^3$ e generano tutto $R^3$.. E quindi il "sottospazio" non deve soddisfare a nessuna equazione..
si il fatto che fosse una base lo avevo capito, ma non mi tornava il fatt che lui volesse una base del sottospazio.
Non capisco però ciò che tu dici sulle equazioni...potresti spiegarmi meglio?
Non capisco però ciò che tu dici sulle equazioni...potresti spiegarmi meglio?
Supponiamo tu abbia un insieme,generato da due vettori linearmente indipendenti in $R^3$. Loro non potranno generarti tutto $R^3$, poichè una base di tutto lo spazio dovrebbe essere costituita da tre vettori linearmente indipendenti. Se tu hai una base con due vettori, vuol dire che il sottospazio generato da quei due vettori è costituito da tutte le combinazioni lineari dei due vettori. Ma poichè siamo in $R^3$ dovranno sottostare ad una condizione. Se ti faccio un esempio forse capisci meglio. Data $S<((1),(2),(0)),((0),(1),(2))>$. Essi sono chiaramente indipendenti,perciò sono una base di un sottospazio. Ma non generano tutto $R^3$. Per esempio,il vettore $((0),(0),(1))$ non può essere generato da una combinazione lineare dei primi due vettori: Quindi tutti i vettori di S devono soddisfare ad una condizione,che non è altro che un equazione lineare omogenea. Per trovarla,dovresti vederla ad occhio,o risolverla con un sistema,o ancora con il determinante. L'equazione del sottospazio $S:4x_1-2x_2+x_3=0$. Condizione a cui soddisfa sia il primo vettore,sia il secondo.
ho capito.
Infatti quando io per esempio voglio calcolarmi le equazioni di uno spazio vettoriale ad esempio, creo una matrice, e imposto la regola che il determinante sia uguale a 0.
Nel mio caso però quando creo la matrice mi viene una cosa del genere:
$rg((x_1,x_2,x_3),(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0))=3$
Cioè metto le incognite alla prima riga e sotto tutti i vettori indipendenti che soddisfano la condizione del rango. In questo caso però mi trovo una matrice rettangolare non quadrata come al solito, quindi mi blocco...
Infatti quando io per esempio voglio calcolarmi le equazioni di uno spazio vettoriale ad esempio, creo una matrice, e imposto la regola che il determinante sia uguale a 0.
Nel mio caso però quando creo la matrice mi viene una cosa del genere:
$rg((x_1,x_2,x_3),(-1,0,1),(0,0,2),(1,1,0))=3$
Cioè metto le incognite alla prima riga e sotto tutti i vettori indipendenti che soddisfano la condizione del rango. In questo caso però mi trovo una matrice rettangolare non quadrata come al solito, quindi mi blocco...
No,le incognite devi metterle in colonna,non in riga. Ma in questo caso non ti serve,perchè hai tre vettori indipendenti,in uno spazio di dimensione 3. Non ci sono equazioni cartesiane a cui devono soddisfare tutti i vettori dati dalla combinazione lineare di questi tre. Proprio perchè generano tutto $R^3$,non un suo sottospazio.
quindi la risposta è che non ci sono equazioni...giusto?!
esatto! Invece nell'esempio che ti ho postato io,ci sono,poichè due vettori in uno spazio a tre dimensioni,devono soddisfare a (tre meno due ) equazioni cartesiane.
si nel tuo caso io riuscivo a muovermi, volevo solo sapere in questi qui dove mi trovo una matrice del genere cosa succedeva....
domani ne parlo con la prof e vedo, intanto ti ringrazio!
domani ne parlo con la prof e vedo, intanto ti ringrazio!
Mi spiego..Se ho due vettori del tipo $v=((1),(0),(1))$ e $w=((0),(1),(1))$, sono chiaramente indipendenti e generano un sottospazio di dimensione due. Ora,non potranno generare tutto $R^3$, ma i vettori che sono loro combinazione lineare dovranno soddisfare ad una condizione. Per trovarla, prendo un generico vettore e scrivo la matrice. $((1,0,x_1),(0,1,x_2),(1,1,x_3))$. Il determinante di questa matrice deve essere uguale a zero. Quindi,calcolando il determinante, ottengo: $x_3-x_2-x_1=0$. E questa è l'equazione cartesiana del mio sottospazio generato dai vettori v,w.
si ma infatti anche io ragiono in questo modo....è solo che avevo trovato quella cosa strana dove mi usciva quella matrice rettangolare dove era impossibile trovare le equazioni...
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