Esercizio sui rivestimenti universali
Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo problema:
Provare che $X={(x,y)\in \mathbb{R^2}: ((x-2)^2 + y^2 -1)*(x^2+y^2-1)=0 }$ ammette un rivestimento universale, e indicato con $(E,p)$ tale rivestimento, dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$
$X$ è rappresentato dal bouquet di due circonferenze. X è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso, pertanto esiste un unico rivestimento universale $p:E \to X$ con $E$ semplicemente conneso.
Sia $E$ che $\mathbb{R}$ sono semplicemente connessi. Come faccio a dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Grazie
Provare che $X={(x,y)\in \mathbb{R^2}: ((x-2)^2 + y^2 -1)*(x^2+y^2-1)=0 }$ ammette un rivestimento universale, e indicato con $(E,p)$ tale rivestimento, dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$
$X$ è rappresentato dal bouquet di due circonferenze. X è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso, pertanto esiste un unico rivestimento universale $p:E \to X$ con $E$ semplicemente conneso.
Sia $E$ che $\mathbb{R}$ sono semplicemente connessi. Come faccio a dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Grazie
Risposte
Forse sbaglio (di brutto): chi è \(\pi_1(E)\)?
Dalla teoria so che se $X$ è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso esiste un unico rivestimento a meno di isomorfismi per $X$ dato da $(E,p)$ con $E$ semplicemente connesso. Giusto?
Ecco, appunto che sbagliavo di brutto; per cui:
\[
\pi_1(E)=\{0\}=\pi_1(\mathbb{R})!
\]
Considera il punto di contatto \(\displaystyle x_0\) di questo bouquet di circonferenze \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\); detto \((E,p)\) il rivestimento universale di \(X\): qual è la cardinalità di \(p^{-1}(x_0)\)? Sai dire qualcosa sulle componenti connesse di \(E\setminus p^{-1}(x_0)\)?
\[
\pi_1(E)=\{0\}=\pi_1(\mathbb{R})!
\]
Considera il punto di contatto \(\displaystyle x_0\) di questo bouquet di circonferenze \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\); detto \((E,p)\) il rivestimento universale di \(X\): qual è la cardinalità di \(p^{-1}(x_0)\)? Sai dire qualcosa sulle componenti connesse di \(E\setminus p^{-1}(x_0)\)?
la cardinalità della fibra $p^-1(x_0)$è il numero di fogli o grado del rivestimento; se il rivestimento è universale il grado del rivestimento è pari alla cardinalità di $\pi_1(X,x_0)$.
$\pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z^2}$, quindi $p^-1(x_0)$ ha la stessa cardinalità del numerabile del numerabile
No
$\pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(S^1 \vee S^1) \cong \mathbb{Z^2}$, quindi $p^-1(x_0)$ ha la stessa cardinalità del numerabile del numerabile
"j18eos":
Sai dire qualcosa sulle componenti connesse di \( E\setminus p^{-1}(x_0) \)?
No
Ok, però in questa maniera lo stesso non si va da nessuna parte; ma, si ottiene il sospetto che \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) non siano omeomorfi, in quanto \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) eredita la topologia discreta da \(\displaystyle E\) e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ereditano la topologia discreta.
"j18eos":Invece no!, questo basta per concludere.
...si ottiene il sospetto che \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) non siano omeomorfi, in quanto \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) eredita la topologia discreta da \(\displaystyle E\) e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle\mathbb{R}\) ereditano la topologia discreta.
"j18eos":
\( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) eredita la topologia discreta da \( \displaystyle E \)
Mi aiuti perfavore a convincermi di questo? Io so che:
se $X$ è uno spazio topologico e $\tau$ è la topologia discreta di $X$ e $(A,\tau_A)$ un sottospazio, allora $\tau_A$ cioè la topologia indotta da $\tau$ su $A$ coincide con la topologia discreta di $A$
$p^-1(x_0) \subset E$ ma su $E$ che topologia consideri?
"j18eos":
e noi sappiamo che non tutti i sottoinsiemi numerabili di \( \displaystyle\mathbb{R} \) ereditano la topologia discreta.
Anche in questo caso su $\mathbb{R}$ quale topologia consideri? la topologia standard?
Ti ringrazio anticipatamente
Scusami NRyoma, ma forse è meglio ricominciare dall'inizio che c'è un grosso errore che ho visto solo ora!
Sia \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\) il bouquet di due circonferenze; tu hai dimostrato che esiste il suo rivestimento universale \(\displaystyle(E,p)\), e che essendo quest'ultimo semplicemente connesso si ha che \(\displaystyle\pi_1(E)=\{0\}\).
Detto \(\displaystyle x_0\) il punto di contatto, tu hai giustamente affermato che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è in biezione con \(\displaystyle\pi_1(X)\); ma chi è \(\displaystyle\pi_1(X)\)? Ti faccio notare che non può essere \(\displaystyle\mathbb{Z}^{\oplus2}\), poiché \(\displaystyle\pi_1(X)\) è un gruppo non abeliano!
Ancora, se usi la definizione di rivestimento, dimostri facilmente che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) come sottospazio di \(\displaystyle E\) eredita la topologia discreta; poi:
Sia \(\displaystyle X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\) il bouquet di due circonferenze; tu hai dimostrato che esiste il suo rivestimento universale \(\displaystyle(E,p)\), e che essendo quest'ultimo semplicemente connesso si ha che \(\displaystyle\pi_1(E)=\{0\}\).
Detto \(\displaystyle x_0\) il punto di contatto, tu hai giustamente affermato che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è in biezione con \(\displaystyle\pi_1(X)\); ma chi è \(\displaystyle\pi_1(X)\)? Ti faccio notare che non può essere \(\displaystyle\mathbb{Z}^{\oplus2}\), poiché \(\displaystyle\pi_1(X)\) è un gruppo non abeliano!
Ancora, se usi la definizione di rivestimento, dimostri facilmente che \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) come sottospazio di \(\displaystyle E\) eredita la topologia discreta; poi:
"NRyoma":devi essere tu a dirmi in che topologia hai lavorato su \(\displaystyle X\), e che topologia usi su \(\displaystyle\mathbb{R}\).
...ma su $ E $ che topologia consideri?...
Anche in questo caso su $ \mathbb{R} $ quale topologia consideri? la topologia standard?...
"j18eos":
ma chi è \( \displaystyle\pi_1(X) \)? Ti faccio notare che non può essere \( \displaystyle\mathbb{Z}^{\oplus2} \), poiché \( \displaystyle\pi_1(X) \) è un gruppo non abeliano!
Sì, hai ragione $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ cioè il gruppo libero su due generatori. Giusto?
"j18eos":
se usi la definizione di rivestimento, dimostri facilmente che \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) come sottospazio di \( \displaystyle E \) eredita la topologia discreta;
Sia $x \in X$, $U$ un aperto ricoperto equamente contenente x e $e \in p^-1(x)$ allora $p^-1(x) \subset p^-1(U)=\bigcup_(j\in J) V_j$ quindi $\exists$ un unico $j_e \in J$ t.c. $e \in V_(j_e)$ quindi $p^-1(x) \cap V_(j_e)={e}$ e se $e' \in V_(j_e) \cap p^-1(x)$ per l'iniettività di $p_(|V_(j_e))$ si ha che $e'=e$. Per ogni $e \in p^-1(x)$ si ha che ${e}$ è un aperto in $p^-1(x)$ Gusto?
In conclusione, come hai detto tu, $p^-1(x)$ eredita da $E$ la topologia discreta mentre non tutti i sottoinsiemi numerabili di $\mathbb{R}$ ereditano la topologia discreta e questo basta per concludere.
Grazie
"NRyoma":Sì; però la cardinalità del gruppo libero di rango \(\displaystyle2\), denominato \(\displaystyle F(2)\), non è quella del finito numerabile!
...Gusto?
In conclusione, come hai detto tu, $ p^-1(x) $ eredita da $ E $ la topologia discreta mentre non tutti i sottoinsiemi numerabili di $ \mathbb{R} $ ereditano la topologia discreta e questo basta per concludere...
E se anche fosse numerabile, mica resterebbe dimostrato che tutti i sottoinsiemi numerabili di \(\displaystyle E\) ereditano la topologia discreta?
Per calcolare la cardinalità di \(\displaystyle F(2)\), tieni presente che esso è equipotente all'insieme \(\displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\): capisci la simbologia?
EDIT: Invece no: \(\displaystyle F(2)\) è infinito numerabile!
"j18eos":
Per calcolare la cardinalità di \( \displaystyle F(2) \), tieni presente che esso è equipotente all'insieme \( \displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})} \): capisci la simbologia?
No, mi sa che per me le cose si sono complicate
Con \(\displaystyle\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\) intendo l'insieme delle successioni finite dei simboli \(\displaystyle a,a^{-1},b,b^{-1},\) ove \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\) sono i generatori di \(\displaystyle F(2)\); si dimostra facilmente che questo insieme è equipotente ad \(\displaystyle F(2)\), e che entrambi hanno la potenza del continuo.
A questo punto, il tuo problema si riduce a dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale e con la topologia discreta, sono spazi topologici non omeomorfi!
Per la precisione: se \(\displaystyle E\) fosse omeomorfo a \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\), allora \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{R}\); quale proprietà topologica di \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) non viene ereditata da \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) ottenendo così una contraddizione?
Ti instrado: separatezza alla Hausdorff, separabilità, connessione o compattezza?
Edit: Corretto un typo: \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo e non infinito numerabile!
A questo punto, il tuo problema si riduce a dimostrare che \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale e con la topologia discreta, sono spazi topologici non omeomorfi!
Per la precisione: se \(\displaystyle E\) fosse omeomorfo a \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\), allora \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{R}\); quale proprietà topologica di \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) non viene ereditata da \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) ottenendo così una contraddizione?
Ti instrado: separatezza alla Hausdorff, separabilità, connessione o compattezza?
Edit: Corretto un typo: \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme infinito continuo e non infinito numerabile!
"j18eos":
A questo punto, il tuo problema si riduce a dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) con la topologia naturale e con la topologia discreta, sono spazi topologici non omeomorfi!
Perchè? Non dobbiamo dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è omeomorfo a $E$?
"j18eos":
Per la precisione: se \( \displaystyle E \) fosse omeomorfo a \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \), allora \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è un insieme infinito numerabile dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \( \displaystyle\mathbb{R} \)
OK, questo è chiaro.
"j18eos":
quale proprietà topologica di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non viene ereditata da \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) ottenendo così una contraddizione?
Ti instrado: separatezza alla Hausdorff, separabilità, connessione o compattezza?
Non so rispondere. Penso che non sia la compattezza perché \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non è compatto, per quanto riguarda la connessione penso che $p^-1(x_0)$ sia connesso; forse è la separabilità?
Grazie
"NRyoma":Scusa, ma mi sono spiegato meglio così!
...Perchè? Non dobbiamo dimostrare che \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è omeomorfo a $E$?...
"j18eos":Per la precisione, a meno di omeomorfismi (tra \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale), hai trovato un sottoinsieme di \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) infinito continuo, la cui topologia di sottospazio è la topologia discreta; cosa c'è che non va?
...Per la precisione: se \( \displaystyle E \) fosse omeomorfo a \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \), allora \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è un insieme infinito continuo dotato della topologia discreta, ed a meno di omeomorfismi è un sottoinsieme di \( \displaystyle\mathbb{R} \); quale proprietà topologica di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) non viene ereditata da \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) ottenendo così una contraddizione?...
Ti ho indicato quattro proprietà topologiche; due sono ereditate dai sottospazi e le altre due no; ragiona meglio: \(\displaystyle\mathbb{R}\) non è compatto con la topologia naturale, e con quella discreta? Perché \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è connesso?, e quest'ultima proprietà ci fornisce una contraddizione?
\( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \)
No, credo non esista. $\mathbb{Z}$ eredita la topologia discreta mentre per esempio $\mathbb{Q}$ no.
Anche con quella discerta non è compatto
$p^-1(x_0)$ non è connesso perché essendo uno spazio discreto è totalmente disconesso. Quindi le proprietà che non vengono ereditate sono la compatezza e la connessione
E' Sbagliato? Grazie
"j18eos":
hai trovato un sottoinsieme di \( \displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat}) \) infinito continuo, la cui topologia di sottospazio è la topologia discreta; cosa c'è che non va?
No, credo non esista. $\mathbb{Z}$ eredita la topologia discreta mentre per esempio $\mathbb{Q}$ no.
"j18eos":
Ti ho indicato quattro proprietà topologiche; due sono ereditate dai sottospazi e le altre due no; ragiona meglio: \( \displaystyle\mathbb{R} \) non è compatto con la topologia naturale, e con quella discreta?
Anche con quella discerta non è compatto
"j18eos":
Perché \( \displaystyle p^{-1}(x_0) \) è connesso?, e quest'ultima proprietà ci fornisce una contraddizione?
$p^-1(x_0)$ non è connesso perché essendo uno spazio discreto è totalmente disconesso. Quindi le proprietà che non vengono ereditate sono la compatezza e la connessione
E' Sbagliato? Grazie
Guarda che \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è infinito numerabile e non continuo. 
Quali altre proprietà non hai studiato?, così da concludere!?
Quali altre proprietà non hai studiato?, così da concludere!?
"j18eos":
Guarda che \( \displaystyle\mathbb{Z} \) è infinito numerabile e non continuo.
Sì, questo è chiaro. Ho voluto solo scrivere un esempio di sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che eredita la topologia dicreta.
"j18eos":
Quali altre proprietà non hai studiato?, così da concludere!?
Quindi non sono la connessione e la compattezza che non vengono ereditate? Non lo so, come si deve concludere?
Delle quattro suggerite, restano la separatezza alla Hausdorff e la separabilità!
Entrambe sono ereditate dallo spazio ambiente a tutti i sottospazi?
Entrambe sono ereditate dallo spazio ambiente a tutti i sottospazi?
$p^-1(x_0)$ è un sottospazio discreto non numerabile, quindi non è separabile.
Per la separatezza alla Hausdorff non lo so.
Per la separatezza alla Hausdorff non lo so.
Bene; in generale se \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico separabile, allora ogni suo sottospazio \(\displaystyle Y\) (con la topologia indotta) è separabile?
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