Esercizio sui rivestimenti universali
Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo problema:
Provare che $X={(x,y)\in \mathbb{R^2}: ((x-2)^2 + y^2 -1)*(x^2+y^2-1)=0 }$ ammette un rivestimento universale, e indicato con $(E,p)$ tale rivestimento, dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$
$X$ è rappresentato dal bouquet di due circonferenze. X è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso, pertanto esiste un unico rivestimento universale $p:E \to X$ con $E$ semplicemente conneso.
Sia $E$ che $\mathbb{R}$ sono semplicemente connessi. Come faccio a dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Grazie
Provare che $X={(x,y)\in \mathbb{R^2}: ((x-2)^2 + y^2 -1)*(x^2+y^2-1)=0 }$ ammette un rivestimento universale, e indicato con $(E,p)$ tale rivestimento, dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$
$X$ è rappresentato dal bouquet di due circonferenze. X è connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso, pertanto esiste un unico rivestimento universale $p:E \to X$ con $E$ semplicemente conneso.
Sia $E$ che $\mathbb{R}$ sono semplicemente connessi. Come faccio a dimostrare che $E$ non può essere omeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Grazie
Risposte
No, in genere $Y$ può non essere separabile
Invece sì! EDIT: Invece no!
Sappiamo che \(\displaystyle x_0\) è un punto chiuso, perché la topologia soddisfa la separabilità alla Hausdorff, per continuità \(\displaystyle p^{-1}(x_0)=Y\) è un insieme chiuso con topologia discreta (a meno di omeomorfismi) di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale.
Essendo:
\[
\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}\Rightarrow Y=\dots=\overline{Y}\cap\overline{\mathbb{Q}}=\overline{Y\cap\mathbb{Q}}=\overline{Z}
\]
quindi \(\displaystyle Z\) è un insieme al più numerabile e denso in \(\displaystyle Y\), ottieni una contraddizione.
A me l'esercizio è piaciuto!, ed a te?
Sappiamo che \(\displaystyle x_0\) è un punto chiuso, perché la topologia soddisfa la separabilità alla Hausdorff, per continuità \(\displaystyle p^{-1}(x_0)=Y\) è un insieme chiuso con topologia discreta (a meno di omeomorfismi) di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale.
Essendo:
\[
\mathbb{R}=\overline{\mathbb{Q}}\Rightarrow Y=\dots=\overline{Y}\cap\overline{\mathbb{Q}}=\overline{Y\cap\mathbb{Q}}=\overline{Z}
\]
quindi \(\displaystyle Z\) è un insieme al più numerabile e denso in \(\displaystyle Y\), ottieni una contraddizione.
A me l'esercizio è piaciuto!, ed a te?
Per quello che mi ha fatto passare direi di no.
Ti ringrazio per l'aiuto


...a questo punto di confesso due peccati senza possibilità di emendarli:
[list=a]
[*:2iotw8z7]non mi piace la topologia algebrica;[/*:m:2iotw8z7]
[*:2iotw8z7]per quanto riguarda le omotopìe, il gruppo fondamentale e i rivestimenti: sono auto didatta![/*:m:2iotw8z7][/list:o:2iotw8z7]
Praticamente, queste cose le uso nei limiti che mi servono in geometria algebrica...
[list=a]
[*:2iotw8z7]non mi piace la topologia algebrica;[/*:m:2iotw8z7]
[*:2iotw8z7]per quanto riguarda le omotopìe, il gruppo fondamentale e i rivestimenti: sono auto didatta![/*:m:2iotw8z7][/list:o:2iotw8z7]
Praticamente, queste cose le uso nei limiti che mi servono in geometria algebrica...
"j18eos":Questa uguaglianza mi convince poco, per esempio è chiaramente falsa se [tex]Y[/tex] è disgiunto da [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Ok nel caso in esame $Y$ è non numerabile e chiuso quindi probabilmente è vero, ma bisogna dimostrarlo. [Edit: no non è vera nemmeno in questo caso, per esempio si può prendere [tex]Y = [0,1] \cup \{\pi\}[/tex].]
[tex]\overline{Y}\cap\overline{\mathbb{Q}}=\overline{Y\cap\mathbb{Q}}[/tex]
Una cosa: avete mostrato che $Y$ è un sottospazio non numerabile e discreto di $E$. Questo basta per concludere perché si vede facilmente che i sottospazi discreti di $\mathbb{R}$ sono al più numerabili.
PS. Non so se ho capito bene la conversazione

Ho controllato, e ha ragione Martino:
[list=1]
[*:7xsar7z8]la separabilità non è una proprietà topologica ereditaria, eccetto per i casi dei sottospazi aperti e degli spazi metrici;[/*:m:7xsar7z8]
[*:7xsar7z8]l'eguaglianza corretta è:
\[
A,B\subseteq X,\,\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B};
\]
con \(\displaystyle X\) spazio topologico qualunque;[/*:m:7xsar7z8]
[*:7xsar7z8]correggendo il finale: sempre a meno di omeomorfismi e utilizzando le stesse notazione, \(\displaystyle Y\) sarebbe un sottospazio di uno spazio metrico separabile, per cui dev'essere separabile, e ciò porta all'assurdo.[/*:m:7xsar7z8][/list:o:7xsar7z8]
Il punto 3 non lo saprei dire più semplice di così; inoltre, dato che sto qui a scrivere, si può ripetere tutto il ragionamento a partire da un generico punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\).
[list=1]
[*:7xsar7z8]la separabilità non è una proprietà topologica ereditaria, eccetto per i casi dei sottospazi aperti e degli spazi metrici;[/*:m:7xsar7z8]
[*:7xsar7z8]l'eguaglianza corretta è:
\[
A,B\subseteq X,\,\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B};
\]
con \(\displaystyle X\) spazio topologico qualunque;[/*:m:7xsar7z8]
[*:7xsar7z8]correggendo il finale: sempre a meno di omeomorfismi e utilizzando le stesse notazione, \(\displaystyle Y\) sarebbe un sottospazio di uno spazio metrico separabile, per cui dev'essere separabile, e ciò porta all'assurdo.[/*:m:7xsar7z8][/list:o:7xsar7z8]
Il punto 3 non lo saprei dire più semplice di così; inoltre, dato che sto qui a scrivere, si può ripetere tutto il ragionamento a partire da un generico punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\).
Ho trovato un altro errore
\(\displaystyle F(2)\) ha cardinalità dell'infinito numerabile, in quanto \(\displaystyle\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}^{(\mathbb{N})}\) è un insieme infinito numerabile[nota]Invece, \(\displaystyle\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}^{\mathbb{N}}\) è infinito continuo.[/nota]! -_-
Quindi resta il fatto che, senza cambiare i nomi, \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme numerabile, con la topologia discreta; e ciò non basta per concludere!
Cercando ho trovato una costruzione esplicita di del rivestimento universale \(\displaystyle E\) di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\): la si trova nel capitolo 1, sezione 3 del libro di Hatcher!
In breve: se tu togli un punto da \(\displaystyle E\), esso si sconnette in quattro pezzi, mentre \(\displaystyle\mathbb{R}\) si sconnette in due pezzi, e ciò basta per concludere.

Quindi resta il fatto che, senza cambiare i nomi, \(\displaystyle p^{-1}(x_0)\) è un insieme numerabile, con la topologia discreta; e ciò non basta per concludere!
Cercando ho trovato una costruzione esplicita di del rivestimento universale \(\displaystyle E\) di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\): la si trova nel capitolo 1, sezione 3 del libro di Hatcher!
In breve: se tu togli un punto da \(\displaystyle E\), esso si sconnette in quattro pezzi, mentre \(\displaystyle\mathbb{R}\) si sconnette in due pezzi, e ciò basta per concludere.
[ot]Se la benzina non costasse così tanto: mi bagnerei dalla testa ai piedi, e mi darei fuoco da solo!
[/ot]Siano \(\displaystyle x_0\in X=\mathbb{S}^1\lor\mathbb{S}^1\) il punto di contatto delle due copie di \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) ed \(\displaystyle(E,p)\) il rivestimento universale di \(\displaystyle X\); per definizione esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x_0\) tale che \(\displaystyle V=p^{-1}(U)\) sia l'unione disgiunta di insiemi aperti connessi \(\displaystyle V_i\), ognuno dei quali omeomorfo a \(\displaystyle U\) mediante \(\displaystyle p\).
Essendo intuitivamente \(\displaystyle U\subsetneqq X\), si ha che \(\displaystyle U\setminus\{x_0\}\) è tagliato in quattro componenti connesse, quindi anche ciascuno dei \(\displaystyle V_i\setminus p^{-1}(x_0)\) è tagliato in quattro componenti connesse; se fosse \(\displaystyle E\) omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale) allora i \(\displaystyle V_i\) dovrebbero essere intervalli aperti, ma un punto taglia un intervallo aperto in due intervalli aperti, quindi tale omeomorfismo non può esistere!

Essendo intuitivamente \(\displaystyle U\subsetneqq X\), si ha che \(\displaystyle U\setminus\{x_0\}\) è tagliato in quattro componenti connesse, quindi anche ciascuno dei \(\displaystyle V_i\setminus p^{-1}(x_0)\) è tagliato in quattro componenti connesse; se fosse \(\displaystyle E\) omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) (con la topologia naturale) allora i \(\displaystyle V_i\) dovrebbero essere intervalli aperti, ma un punto taglia un intervallo aperto in due intervalli aperti, quindi tale omeomorfismo non può esistere!
non mi piace la topologia algebrica
You're a pervert, repent.
@kb[ot]
[/ot]
"killing_buddha":Vabbè: le coomologie di fasci e i vari "gruppi fondamentali" li salvo!non mi piace la topologia algebrica
You're a pervert, repent.
