Esercizio sugli spazi vettoriali
Salve,se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente esercizio?
L'esercizio è questo:"Se \( F=\{\mathbb{R},+,*\} \) mostra che l'insieme delle funzioni continue \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) sull'intervallo chiuso \( [0,1] \),forma uno spazio vettoriale su $F$.
E mostra che tutte le derivate n-esime delle funzioni $C^n$ formano un sottospazio vettoriale su $F$."
(spero che la traduzione sia corretta)
L'esercizio è questo:"Se \( F=\{\mathbb{R},+,*\} \) mostra che l'insieme delle funzioni continue \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) sull'intervallo chiuso \( [0,1] \),forma uno spazio vettoriale su $F$.
E mostra che tutte le derivate n-esime delle funzioni $C^n$ formano un sottospazio vettoriale su $F$."
(spero che la traduzione sia corretta)
Risposte
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.
Il [regolamento]1_2[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua.[/xdom]
Il [regolamento]1_2[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua.[/xdom]
lo so,però non so proprio da dove iniziare a dimostrare,oppure se esistono formulazioni equivalenti del problema che mi potrebbero aiutare a risolvere il problema.
p.s:questo esercizio è di algebra lineare(te lo chiedo perché l'ho preso da un libro che dovrebbe essere di algebra astratta)?
p.s:questo esercizio è di algebra lineare(te lo chiedo perché l'ho preso da un libro che dovrebbe essere di algebra astratta)?
Devi pensare quali sono gli assiomi che deve soddisfare uno spazio vettoriale e all'operazione che è definita.
Per iniziare, date $f,g$ funzioni $C^{0}[0,1]$ e le operazioni $+: f+g(x)=f(x)+g(x)$ e $*:c*g(x)=c* g(x)$, devi verificare anzitutto la chiusura per somma e moltiplicazione per scalare. Cioè $f+g(x) \in C^{0}[0,1]$ e $\mu f \in C^{0}[0,1]$.
Sto sostanzialmente dicendo che la somma di due funzioni continue è ancora continua, analogamente con la moltiplicazione per scalare.
Per iniziare, date $f,g$ funzioni $C^{0}[0,1]$ e le operazioni $+: f+g(x)=f(x)+g(x)$ e $*:c*g(x)=c* g(x)$, devi verificare anzitutto la chiusura per somma e moltiplicazione per scalare. Cioè $f+g(x) \in C^{0}[0,1]$ e $\mu f \in C^{0}[0,1]$.
Sto sostanzialmente dicendo che la somma di due funzioni continue è ancora continua, analogamente con la moltiplicazione per scalare.
"feddy":
Sto sostanzialmente dicendo che la somma di due funzioni continue è ancora continua, analogamente con la moltiplicazione per scalare.
Ti ringrazio,così è più facile da capire.
Di nulla, non te l'ho detto ma credo sia chiaro tu lo debba verificare per due funzioni qualisasi mediante la definizione di funzione continua.
Un modo per dimostrare questo sarebbe quindi applicare il criterio di convergenza di Cauchy per le funzioni?
Intendi questo? Secondo me la complichi e basta,ammesso che possa servire a qualcosa.
Come ti ho detto, basta la definizione di funzione continua. Cosa vuol dire che $f$ è continua in $[0,1]$?
Come ti ho detto, basta la definizione di funzione continua. Cosa vuol dire che $f$ è continua in $[0,1]$?
l'unica definizione di funzione continua che conosco è quest:https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continua#Definizione_epsilon-delta ,anche se non so se ti riferivi a questa.
Certo che mi riferisco a quella: è la prima definizione di continuità che si vede già al liceo o nel primo mese di Analisi I.E' che tu mi hai parlato di criterio di convergenza di Cauchy e si usa per l'esistenza di limiti... scusa la domanda, ma che libro segui di algebra lineare?
Ad ogni modo, ora sai come procedere
Ad ogni modo, ora sai come procedere
Grazie per l'aiuto,per sapere come faccio con la seconda parte,che riguarda le derivate?
p.s:il libro che seguo e penso che sia di algebra astratta è questo:"Topics in Algebra,I.N.Herstein".
p.s:il libro che seguo e penso che sia di algebra astratta è questo:"Topics in Algebra,I.N.Herstein".
Scusa ma mi hai risposto dopo neanche 10 minuti, hai già fatto?
Pensaci un po' su almeno
Pensaci un po' su almeno
per la prima parte sì,per la seconda provo ancora...
Pensandoci un po',forse(ma forse)qualche modo per risolverlo mi è venuto,però non so come formalizzarlo.
La prima cosa che ho pensato,è che l'insieme delle funzioni e l'insieme delle derivate hanno le stesse proprietà e quindi quest'ultime posso formare uno spazio vettoriale.Poi da qui c'era da provare che il primo spazio contenga il secondo,e per farlo ho pensato che l'insieme delle funzioni ha una classe $C$ di funzioni in più di quello delle derivate.(anche se ammetto che scrivendolo mi sono aumentati terribilmente i dubbi)
La prima cosa che ho pensato,è che l'insieme delle funzioni e l'insieme delle derivate hanno le stesse proprietà e quindi quest'ultime posso formare uno spazio vettoriale.Poi da qui c'era da provare che il primo spazio contenga il secondo,e per farlo ho pensato che l'insieme delle funzioni ha una classe $C$ di funzioni in più di quello delle derivate.(anche se ammetto che scrivendolo mi sono aumentati terribilmente i dubbi)
Un momento, leggendo il tuo testo mi sono accorto che hai tradotto un po' maluccio. Meglio se chiami $C^n$ le funzioni derivabili $n$-volte. Quello che devi mostrare è che le funzioni derivabili n volte sono un sottospazio vettoriale di $\mathbb{F}$.
Che proprietà deve soddisfare un sottospazio vettoriale?
Dovrebbe esserti più o meno noto che $C^k(RR) \subset C^{k-1}(RR) \subset \ldots \subset C^{0}(RR)$
Che proprietà deve soddisfare un sottospazio vettoriale?
Dovrebbe esserti più o meno noto che $C^k(RR) \subset C^{k-1}(RR) \subset \ldots \subset C^{0}(RR)$
Dovrebbe essere $C^(K+1)(RR)$?
L'inclusione è quella che ti ho scritto. Per esempio lo spazio delle funzioni differenziabili su $RR$ con continuità, cioè $C^1(RR)$, è incluso nello spazio $C^0(RR)$ delle funzioni continue.
e quindi lo spazio delle funzioni,contiene quello delle derivate e quindi il secondo è un sottospazio del primo,giusto?
Occhio, devi dimostrare che è un sottospazio. Per ora sai solo che è un sottinsieme
però,dato che valgono tutte le proprietà sotto le operazioni dello spazio,allora è un sottospazio,in fondo sono sempre funzioni continue definite sullo stesso insieme.
L'algebra lineare è, in un certo senso, una parte dell'algebra astratta (o forse potrei chiamarla moderna). All'università è generalmente studiata nel primo corso di geometria. In genere viene studiata con un approccio più applicato rispetto al resto dell'algebra astratta. Secondo me dovresti cercare di essere meno frettoloso e cercare di dare un maggiore peso al formalizzazione dei concetti. La maggiore differenza tra superiori e università è proprio l'attenzione ai dettagli e alla correttezza formale.
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