Esercizio su un sottospazio vettoriale
Sia W= { A appartenente M(2,2) R (matrice 2x2) : Traccia(A) =0 }, l'insieme delle matrici a traccia nulla :
1-Verifica che W è un sottospazio vettoriale di M2,2 (R)
2- Calcola la dimensione e una base di W ..
gli altri punti li so fare..piu che altro non riesco a iniziare, se qualcuno mi fa capire come costruire sta matrice, dopo trovare la dimensione attraverso il rango..è facile..
Un esercizio simile ve lo pongo direttamente qua:
Dato il sottoinsieme W = {| ( x , y ),( 0 , z ) |, appartenente a M2,2(R) : x,y,z appartenenti a (R)}..
1-Dimostra che W è sottospazio vettoriale di M22 e trova la dimensione
2- Trova tutte le matrici X appartenenti a W, Tali che AX=B, dove A = {: ( 1 , 2 ),( 1 , -8 ) :} e B ={: ( 0 , 1 ),( 0 , -5 ) :}
3- Trova tutte le matrici Y appartenenti a W, Tali che CY=YC, dove C={: ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) :}
4- Stabilisci se S= W intersecato GL2(R), è un sottospazio vettoriale di M2,2.. Questa non l'ho proprio capita come domanda.
Vi prego aiutatemi
Grazie
1-Verifica che W è un sottospazio vettoriale di M2,2 (R)
2- Calcola la dimensione e una base di W ..
gli altri punti li so fare..piu che altro non riesco a iniziare, se qualcuno mi fa capire come costruire sta matrice, dopo trovare la dimensione attraverso il rango..è facile..
Un esercizio simile ve lo pongo direttamente qua:
Dato il sottoinsieme W = {| ( x , y ),( 0 , z ) |, appartenente a M2,2(R) : x,y,z appartenenti a (R)}..
1-Dimostra che W è sottospazio vettoriale di M22 e trova la dimensione
2- Trova tutte le matrici X appartenenti a W, Tali che AX=B, dove A = {: ( 1 , 2 ),( 1 , -8 ) :} e B ={: ( 0 , 1 ),( 0 , -5 ) :}
3- Trova tutte le matrici Y appartenenti a W, Tali che CY=YC, dove C={: ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) :}
4- Stabilisci se S= W intersecato GL2(R), è un sottospazio vettoriale di M2,2.. Questa non l'ho proprio capita come domanda.
Vi prego aiutatemi
Grazie
Risposte
Ti ho già detto che il ragionamento è lo stesso di prima: devi trovare una matrice \(\displaystyle X \) tale che commuti con \(\displaystyle C \), giusto? Bene. Una soluzione particolare - forse l'unica - è l'inversa* di \(\displaystyle C \).
Come si trovano tutte le matrici?
Sommando alla soluzione particolare \(\displaystyle X \) matrici \(\displaystyle K \) tali che \(\displaystyle CK=KC=0 \).
E perché?
Perché \(\displaystyle C(X+K)=CX+CK=CX \) e \(\displaystyle (X+K)C=XC+KC=XC \).
Esistono matrici \(\displaystyle K \) di questo tipo?
No, perché se esistessero dovrebbero avere l'immagine appartenente a \(\displaystyle \langle \text{im} \; C \rangle ^{\bot} \cap \text{ker} \; C=\langle 0 \rangle\) per lo stesso identico motivo di sopra, solo che ora ci si aggiunge l'ortogonale dell'immagine di \(\displaystyle C \) ( - sto usando espressioni improprie a go-go).
* Falso: l'inversa non appartiene a \(\displaystyle W \), quindi per trovare la soluzione bisogna risolvere il sistema lineare di cui sotto. Resta valido comunque il resto del discorso.
Come si trovano tutte le matrici?
Sommando alla soluzione particolare \(\displaystyle X \) matrici \(\displaystyle K \) tali che \(\displaystyle CK=KC=0 \).
E perché?
Perché \(\displaystyle C(X+K)=CX+CK=CX \) e \(\displaystyle (X+K)C=XC+KC=XC \).
Esistono matrici \(\displaystyle K \) di questo tipo?
No, perché se esistessero dovrebbero avere l'immagine appartenente a \(\displaystyle \langle \text{im} \; C \rangle ^{\bot} \cap \text{ker} \; C=\langle 0 \rangle\) per lo stesso identico motivo di sopra, solo che ora ci si aggiunge l'ortogonale dell'immagine di \(\displaystyle C \) ( - sto usando espressioni improprie a go-go).
* Falso: l'inversa non appartiene a \(\displaystyle W \), quindi per trovare la soluzione bisogna risolvere il sistema lineare di cui sotto. Resta valido comunque il resto del discorso.
Io ho capito il ragionamento che fai..ok..però allora prima moltiplicavo la matrice A*X e poi ponevo il risultato uguale alla matrice B.... ora tu dici che è lo stesso ragionamento perchè se il ker=0 allora la matrice unica..ok ci siamo.. ma mentre prima facevo quel procedimento..ora che procedimento devo fare???.. partendo dalla matrice C come la trovo Y ?????, ok in questo caso facendo l'inversa perche gia SO che è unica.. ma se non lo sapessi..come dovrei fare???
Hai capito cosa ti ho chiesto? spero di si..mi sta annoiando assai questo esercizio..
Grazie comunque per la disponibilita..veramente!
Hai capito cosa ti ho chiesto? spero di si..mi sta annoiando assai questo esercizio..
Grazie comunque per la disponibilita..veramente!
Dovresti risolvere il sistema lineare \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] ossia \[\displaystyle \begin{cases} x=x+y \\ y=y \\ x=z \\ y+z=z \end{cases} \] che restituisce \(\displaystyle y=0 \) e \(\displaystyle x=z \). Pertanto sbagliavo in parte quando dicevo che la soluzione è unica: oltre l'inversa (vedi EDIT!) c'è la matrice identità (e relativi multipli). Infatti \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x & 0 \\ x & x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]
EDIT: tra l'altro mi rendo conto solo adesso che l'inversa di \(\displaystyle C \) non appartiene a \(\displaystyle W \), quindi ho detto una cazzata. E' vero quanto ho detto finora, ma devi sostituire "inversa" con "identità" in ogni sua occorrenza. Chiedo venia per la distrazione.
EDIT: tra l'altro mi rendo conto solo adesso che l'inversa di \(\displaystyle C \) non appartiene a \(\displaystyle W \), quindi ho detto una cazzata. E' vero quanto ho detto finora, ma devi sostituire "inversa" con "identità" in ogni sua occorrenza. Chiedo venia per la distrazione.
Allora io avevo gia fatto il primo passaggio, cioe che mi trovavo y=0 e x=z.. ma non dovrebbe essere questa la soluzione??..cioè io cosi pongo CY=YC..e trovo questa matrice.. perchè poi rimoltiplichi questa matrice per C ?? sarebbe il secondo passaggio che hai posto..
PS. quindi quel discorso del nucleo non centrava nulla?? cioe dalla soluzione che mi hai dato si vede chiarissimamente che la matrice Y è : ( x 0 ) (x x)... quindi dipendono da x..cioè infinite..giusto?..spiegami solo perchè fai quel passaggio che ti ho chiesto sopra..poi penso di aver capito bene!..
PSS: perchè cercando anche in internet trovo che l inversa di una matrice è unica..mentre da qui capisco che non è unica???
Grazie e scusa.
PS. quindi quel discorso del nucleo non centrava nulla?? cioe dalla soluzione che mi hai dato si vede chiarissimamente che la matrice Y è : ( x 0 ) (x x)... quindi dipendono da x..cioè infinite..giusto?..spiegami solo perchè fai quel passaggio che ti ho chiesto sopra..poi penso di aver capito bene!..
PSS: perchè cercando anche in internet trovo che l inversa di una matrice è unica..mentre da qui capisco che non è unica???
Grazie e scusa.
"epidemia92":
Allora io avevo gia fatto il primo passaggio, cioe che mi trovavo y=0 e x=z.. ma non dovrebbe essere questa la soluzione??..cioè io cosi pongo CY=YC..e trovo questa matrice.. perchè poi rimoltiplichi questa matrice per C ??
O cribbio, quel passaggio è una conferma! Mostra che la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \) commuta nel prodotto con \(\displaystyle C \)!
"epidemia92":
PS. quindi quel discorso del nucleo non centrava nulla??
Certo che c'entra. In questo caso particolare è un discorso ininfluente, ma in dimensioni più elevate mica puoi stare a risolvere sistemi lineari a \(\displaystyle 9 \) o a \(\displaystyle 16 \) equazioni...
"epidemia92":
PSS: perchè cercando anche in internet trovo che l inversa di una matrice è unica..mentre da qui capisco che non è unica???
Scusa ma che cavolo stai dicendo? Da quale mia affermazione dedurresti che l'inversa non è unica? Hai letto i miei post? Li hai meditati? Perché non sembra, e io sinceramente mi sto un po' rompendo le scatole. E' evidente che la pazienza non è una mia dote...
Perche adesso abbiamo trovato la matrice Y.. questa matrice essendo CY=YC, è l'inversa giusto??.. ma siccome sta matrice..dipende da un parametro..cio vuol dire che non è unica..o sbaglio??... la matrice Y che mi chiede l'esercizio è : ( x 0 ) (0 x ), ok..soluzione trovata.ma siccome dipende dal parametro x..allora a sto punto non è unica..ok come forma è unica perche deve essere per forza 0 x 0 x..pero la x varia..capisci dove voio arrivare??
scusa veramente..in questo forum non c'è un modo per apprezzare un utente? un modo per far capire che l'utente è bravo a rispondere ecc.?? perchè se x'è lo faccio subito per te..
GRAZIEE!
scusa veramente..in questo forum non c'è un modo per apprezzare un utente? un modo per far capire che l'utente è bravo a rispondere ecc.?? perchè se x'è lo faccio subito per te..
GRAZIEE!
La matrice \(\displaystyle Y \) non è l'inversa, è un multiplo della matrice identità. L'inversa non è soluzione perché non appartiene a \(\displaystyle W \), mentre il testo richiede \(\displaystyle Y \in W \). E sì, ho detto una cazzata (l'ho scritto anche più sopra) quando ho affermato che la soluzione è unica.
Quindi in definitiva: la soluzione non è unica, ci sono infinite soluzioni, tutte multiple della matrice identità.
Quindi in definitiva: la soluzione non è unica, ci sono infinite soluzioni, tutte multiple della matrice identità.
Si ma scusa se sono duro, piu che altro a differenza di molta gente che conosco anche con i professori fino a quando non capisco dettagliatamente richiedo, se l'esercizio mi chiede CY=YC.. pare quasi ovvio che Y sia l'inversa...invece perchè è la matrice identita??..
ora se ne hai voglia io ho provato a risolvere il 4° punto, ho letto come mi hai detto tu cosa è il gruppo generale lineare..quando vado a fare W intersezione GL2, tra i vettori che compongono W vabbe metto quelli che ho.. ma quelli che compongono GL2 quali sono??..
Grazie davvero e scusa..sul GL è la prima volta che mi capita quindi penso che sugli esami nemmeno ci sarà ,pero per sicurezza se hai voglia e tempo..magari..
ora se ne hai voglia io ho provato a risolvere il 4° punto, ho letto come mi hai detto tu cosa è il gruppo generale lineare..quando vado a fare W intersezione GL2, tra i vettori che compongono W vabbe metto quelli che ho.. ma quelli che compongono GL2 quali sono??..
Grazie davvero e scusa..sul GL è la prima volta che mi capita quindi penso che sugli esami nemmeno ci sarà ,pero per sicurezza se hai voglia e tempo..magari..
"epidemia92":
[...] pare quasi ovvio che Y sia l'inversa...invece perchè è la matrice identita??.. [...]
Ti ho già detto che l'inversa non è una soluzione accettabile perché non appartiene a \(\displaystyle W \)!!!
Più di così non posso fare e non farò: ti invito caldamente a rileggere tutta la discussione e a ragionare su tutti i post che ho scritto. Devi avere un'idea perversa della Matematica perché non è così che si procede. Pensare, ma soprattutto studiare la teoria, prima di scrivere post di getto.
EDIT: ho modificato un po' i post sopra per essere massimamente coerente, altrimenti di questo passo non se ne esce più...
OK dmn mattina rileggo..grazie mille comunque.
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