Esercizio su un sottospazio vettoriale
Sia W= { A appartenente M(2,2) R (matrice 2x2) : Traccia(A) =0 }, l'insieme delle matrici a traccia nulla :
1-Verifica che W è un sottospazio vettoriale di M2,2 (R)
2- Calcola la dimensione e una base di W ..
gli altri punti li so fare..piu che altro non riesco a iniziare, se qualcuno mi fa capire come costruire sta matrice, dopo trovare la dimensione attraverso il rango..è facile..
Un esercizio simile ve lo pongo direttamente qua:
Dato il sottoinsieme W = {| ( x , y ),( 0 , z ) |, appartenente a M2,2(R) : x,y,z appartenenti a (R)}..
1-Dimostra che W è sottospazio vettoriale di M22 e trova la dimensione
2- Trova tutte le matrici X appartenenti a W, Tali che AX=B, dove A = {: ( 1 , 2 ),( 1 , -8 ) :} e B ={: ( 0 , 1 ),( 0 , -5 ) :}
3- Trova tutte le matrici Y appartenenti a W, Tali che CY=YC, dove C={: ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) :}
4- Stabilisci se S= W intersecato GL2(R), è un sottospazio vettoriale di M2,2.. Questa non l'ho proprio capita come domanda.
Vi prego aiutatemi
Grazie
1-Verifica che W è un sottospazio vettoriale di M2,2 (R)
2- Calcola la dimensione e una base di W ..
gli altri punti li so fare..piu che altro non riesco a iniziare, se qualcuno mi fa capire come costruire sta matrice, dopo trovare la dimensione attraverso il rango..è facile..
Un esercizio simile ve lo pongo direttamente qua:
Dato il sottoinsieme W = {| ( x , y ),( 0 , z ) |, appartenente a M2,2(R) : x,y,z appartenenti a (R)}..
1-Dimostra che W è sottospazio vettoriale di M22 e trova la dimensione
2- Trova tutte le matrici X appartenenti a W, Tali che AX=B, dove A = {: ( 1 , 2 ),( 1 , -8 ) :} e B ={: ( 0 , 1 ),( 0 , -5 ) :}
3- Trova tutte le matrici Y appartenenti a W, Tali che CY=YC, dove C={: ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) :}
4- Stabilisci se S= W intersecato GL2(R), è un sottospazio vettoriale di M2,2.. Questa non l'ho proprio capita come domanda.
Vi prego aiutatemi
Grazie
Risposte
"epidemia92":
Sia W= { A appartenente M(2,2) R (matrice 2x2) : Traccia(A) =0 }, l'insieme delle matrici a traccia nulla :
1-Verifica che W è un sottospazio vettoriale di M2,2 (R)
2- Calcola la dimensione e una base di W ..
gli altri punti li so fare..piu che altro non riesco a iniziare, se qualcuno mi fa capire come costruire sta matrice, dopo trovare la dimensione attraverso il rango..è facile..
[...]
Cosa intendi con "costruire sta matrice"? E quali sarebbero gli altri punti?
Ad ogni modo: il punto 1 è di sola verifica. Conosci la definizione di spazio vettoriale? Quella è sufficiente.
Quanto al punto 2: gli elementi di \(\displaystyle W \) sono tutti del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \] con \(\displaystyle a, \; b, \; c \in \mathbb{R} \). Hai tre parametri liberi...
"epidemia92":
Un esercizio simile ve lo pongo direttamente qua:
Dato il sottoinsieme W = {| ( x , y ),( 0 , z ) |, appartenente a M2,2(R) : x,y,z appartenenti a (R)}..
1-Dimostra che W è sottospazio vettoriale di M22 e trova la dimensione
2- Trova tutte le matrici X appartenenti a W, Tali che AX=B, dove A = {: ( 1 , 2 ),( 1 , -8 ) :} e B ={: ( 0 , 1 ),( 0 , -5 ) :}
3- Trova tutte le matrici Y appartenenti a W, Tali che CY=YC, dove C={: ( 1 , 0 ),( 1 , 1 ) :}
4- Stabilisci se S= W intersecato GL2(R), è un sottospazio vettoriale di M2,2.. Questa non l'ho proprio capita come domanda.
Vi prego aiutatemi
Grazie
Punto 1: valgono i suggerimenti dati sopra;
Punto 2: lo lascio in sospeso un attimo;
Punto 3: carino. La matrice \[\displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] ha rango \(\displaystyle 2 \), quindi \(\displaystyle \text{ker} \; C=\emptyset \) e \(\displaystyle (\text{im} \; C)^{\bot}=\emptyset \) (perché?), da cui si deduce che se esiste, una tale matrice \(\displaystyle Y \) deve essere unica (perché?).
Punto 4: sai cos'è \(\displaystyle \text{GL}(2,\mathbb{R}) \)?
Intanto ti ringrazio per la risposta, comunque:
Riguardo al primo esercizio: io so cosa è un sottospazio vettoriale, su vari esercizi lo so dimostrare ma su questo no, cioe partendo da sta matrice : a,b,c,-a .. anche per trovare la dimensione da come hai detto tu suppongo che la dimension è 3 giusto?, ma faccio tipo un sistema : {a+b=0 , c-a=0 ????..trovo a=-b , c=-b..dimensione 1?, come faccio poi a trovare l'ortogonale?, sto facendo troppa confusione con le applicazioni lineari, se mi chiarisci le idee per favore..
Secondo esercizio: vabbe per il primo punto ti rifaccio le domande di prima, secondo punto aspetto, terzo punto credo di aver capito, parli di matricei nvertibile??,, 4° punto : ti pongo la stessa domanda non so proprio cosa sia!!...
Aspetto la tua risposto grazie mille, ti invito anche a visualizzare un altro post dove nessuno mi ha risposto, riguardo al supplementare.
Riguardo al primo esercizio: io so cosa è un sottospazio vettoriale, su vari esercizi lo so dimostrare ma su questo no, cioe partendo da sta matrice : a,b,c,-a .. anche per trovare la dimensione da come hai detto tu suppongo che la dimension è 3 giusto?, ma faccio tipo un sistema : {a+b=0 , c-a=0 ????..trovo a=-b , c=-b..dimensione 1?, come faccio poi a trovare l'ortogonale?, sto facendo troppa confusione con le applicazioni lineari, se mi chiarisci le idee per favore..
Secondo esercizio: vabbe per il primo punto ti rifaccio le domande di prima, secondo punto aspetto, terzo punto credo di aver capito, parli di matricei nvertibile??,, 4° punto : ti pongo la stessa domanda non so proprio cosa sia!!...
Aspetto la tua risposto grazie mille, ti invito anche a visualizzare un altro post dove nessuno mi ha risposto, riguardo al supplementare.
"epidemia92":
[...] su vari esercizi lo so dimostrare ma su questo no [...]
E come lo dimostreresti, in questi altri vari esercizi?
"epidemia92":
[...] terzo punto credo di aver capito, parli di matricei nvertibile??,,
Se intendi l'inversa di \(\displaystyle C \), sì.
"epidemia92":
[...] 4° punto : ti pongo la stessa domanda non so proprio cosa sia!!...
Gruppo generale lineare.
Lo dimostrerei dicendo che è chiuso rispetto a somma e prodotto, però qui non so come fare, comunque dimmi se è giusto ho modificato il messaggio perchè mi sono accorto di aver scritto una sciocchezza..dimmi se è giusto quello che ho scritto : a,b,c,-a .. anche per trovare la dimensione da come hai detto tu suppongo che la dimension è 3 giusto?, ma faccio tipo un sistema : {a+b=0 , c-a=0 ????..trovo a=-b , c=-b..dimensione 1?, come faccio poi a trovare l'ortogonale?, sto facendo troppa confusione con le applicazioni lineari, se mi chiarisci le idee per favore..
Ho letto il gruppo generale lineare cosè, ma comunque non saprei risolvere il punto.
Ti prego aiutami
Ho letto il gruppo generale lineare cosè, ma comunque non saprei risolvere il punto.
Ti prego aiutami
Ti rispondo con calma dopo pranzo.
ok.tranquillo, con calma mi raccomando, so che ti sto innervosendo un po, però ne ho veramente bisogno, se mi spieghi dettagliatamente ogni cosa,sarebbe davvero perfetto.
Grazie ancora
Grazie ancora
Allora, per verificare che \(\displaystyle W \) è uno spazio vettoriale bisogna controllare che siano rispettati gli assiomi che caratterizzano uno spazio vettoriale. Per quanto riguarda la somma vettoriale, bisogna verificare che:
1. Esiste un elemento neutro \(\displaystyle 0 \in W \) t.c. \(\displaystyle v+0=0+v=v \ \ \forall \; v \in W \);
- Nel tuo caso è sufficiente scegliere \(\displaystyle a=b=c=0 \), cioè la matrice \(\displaystyle 0_{W}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
2. L'operazione è associativa, ossia \(\displaystyle (v+w)+u=v+(w+u) \ \ \forall \; v,w,u \in W \);
- Qui ti prendi tre elementi generici - diciamo \(\displaystyle v=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}, \ w=\begin{pmatrix} d & e \\ f & -d \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle u=\begin{pmatrix} g & h \\ i & -g \end{pmatrix} \) - e verifichi l'assioma.
3. L'operazione è commutativa, ossia \(\displaystyle v+w=w+v \ \ \forall \; v,w \in W \);
- Idem con patate.
4. Ogni elemento ha un opposto, ossia \(\displaystyle \forall v \ \exists w \in W \) t.c. \(\displaystyle w+v=v+w=0_{w} \);
- Per ogni \(\displaystyle v \) basta prendere \(\displaystyle w=\begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
Per quanto riguarda invece la moltiplicazione per scalare, bisogna controllare che:
1. Esiste l'elemento neutro \(\displaystyle 1 \in C \) t.c. \(\displaystyle 1v=v \ \ \forall v \in W \);
- Non mi pare il caso di aggiungere altro...
2. L'operazione è associativa, ossia si ha \(\displaystyle \alpha(\beta v)=(\alpha \beta)v \ \ \forall \alpha, \beta \in C, \ \ \forall v \in W \);
- Lo lascio fare a te.
3. L'operazione è lineare sugli scalari, ossia \(\displaystyle (\alpha + \beta)v=\alpha v + \beta v \ \ \forall \alpha, \beta \in C, \ \forall v \in W \);
4. L'operazione è lineare sui vettori, ossia \(\displaystyle \alpha(v+w)=\alpha v + \alpha w \ \ \forall \alpha \in C, \ \forall v,w \in W \).
Una volta fatte tutte queste tediose ma necessarie verifiche, si può asserire finalmente che si ha a che fare con un spazio vettoriale.
Per quanto riguarda il punto 2: concorderai con me sul fatto che gli elementi di \(\displaystyle W \) sono tutti del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \quad \quad a,b,c \in C \]
Ora, ci sono tre parametri liberi, tre gradi di libertà... Che dimensione mai potrà avere \(\displaystyle W \)?
Puoi vederla anche così, in maniera un po' più formale: lo spazio delle matrici quadrate \(\displaystyle 2 \times 2 \) è generato dalla seguente base canonica: \[\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \quad e_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[\displaystyle e_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \quad e_{4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] quindi i vettori del tuo spazio sono tutti del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ -a \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] scritti secondo la base canonica di poc'anzi... Mi sembra quindi superfluo a questo punto farti notare che questi ultimi tre vettori sono indipendenti. Se ti bastano quindi \(\displaystyle 3 \) vettori indipendenti per generare tutto lo spazio, significa che tale spazio ha dimensione \(\displaystyle 3 \).
N.B. : gli spazi vettoriali non hanno nucleo, e non ha senso nemmeno parlarne in loro riferimento. Sono le applicazioni lineari che ce l'hanno (il nucleo).
1. Esiste un elemento neutro \(\displaystyle 0 \in W \) t.c. \(\displaystyle v+0=0+v=v \ \ \forall \; v \in W \);
- Nel tuo caso è sufficiente scegliere \(\displaystyle a=b=c=0 \), cioè la matrice \(\displaystyle 0_{W}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
2. L'operazione è associativa, ossia \(\displaystyle (v+w)+u=v+(w+u) \ \ \forall \; v,w,u \in W \);
- Qui ti prendi tre elementi generici - diciamo \(\displaystyle v=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}, \ w=\begin{pmatrix} d & e \\ f & -d \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle u=\begin{pmatrix} g & h \\ i & -g \end{pmatrix} \) - e verifichi l'assioma.
3. L'operazione è commutativa, ossia \(\displaystyle v+w=w+v \ \ \forall \; v,w \in W \);
- Idem con patate.
4. Ogni elemento ha un opposto, ossia \(\displaystyle \forall v \ \exists w \in W \) t.c. \(\displaystyle w+v=v+w=0_{w} \);
- Per ogni \(\displaystyle v \) basta prendere \(\displaystyle w=\begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
Per quanto riguarda invece la moltiplicazione per scalare, bisogna controllare che:
1. Esiste l'elemento neutro \(\displaystyle 1 \in C \) t.c. \(\displaystyle 1v=v \ \ \forall v \in W \);
- Non mi pare il caso di aggiungere altro...
2. L'operazione è associativa, ossia si ha \(\displaystyle \alpha(\beta v)=(\alpha \beta)v \ \ \forall \alpha, \beta \in C, \ \ \forall v \in W \);
- Lo lascio fare a te.
3. L'operazione è lineare sugli scalari, ossia \(\displaystyle (\alpha + \beta)v=\alpha v + \beta v \ \ \forall \alpha, \beta \in C, \ \forall v \in W \);
4. L'operazione è lineare sui vettori, ossia \(\displaystyle \alpha(v+w)=\alpha v + \alpha w \ \ \forall \alpha \in C, \ \forall v,w \in W \).
Una volta fatte tutte queste tediose ma necessarie verifiche, si può asserire finalmente che si ha a che fare con un spazio vettoriale.
Per quanto riguarda il punto 2: concorderai con me sul fatto che gli elementi di \(\displaystyle W \) sono tutti del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \quad \quad a,b,c \in C \]
Ora, ci sono tre parametri liberi, tre gradi di libertà... Che dimensione mai potrà avere \(\displaystyle W \)?
Puoi vederla anche così, in maniera un po' più formale: lo spazio delle matrici quadrate \(\displaystyle 2 \times 2 \) è generato dalla seguente base canonica: \[\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \quad e_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[\displaystyle e_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \quad e_{4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] quindi i vettori del tuo spazio sono tutti del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ -a \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] scritti secondo la base canonica di poc'anzi... Mi sembra quindi superfluo a questo punto farti notare che questi ultimi tre vettori sono indipendenti. Se ti bastano quindi \(\displaystyle 3 \) vettori indipendenti per generare tutto lo spazio, significa che tale spazio ha dimensione \(\displaystyle 3 \).
N.B. : gli spazi vettoriali non hanno nucleo, e non ha senso nemmeno parlarne in loro riferimento. Sono le applicazioni lineari che ce l'hanno (il nucleo).
ok, ora ho capito, se puoi svolgi anche i punti del secondo esercizio. Grazie mille ancora.
Che poi proprio ora mi sono accorto che su un libro che uso per fare gli esercizi, la dimensione del sottospazio e dimostrare che è un sottospazio, è spiegato benissimo, però il problema è che sono esercizi piu facili rispetto a quelli da compito, per questo ti chiedo comunque un aiuto sul secondo esercizio che ti ho posto.
Grazie
Che poi proprio ora mi sono accorto che su un libro che uso per fare gli esercizi, la dimensione del sottospazio e dimostrare che è un sottospazio, è spiegato benissimo, però il problema è che sono esercizi piu facili rispetto a quelli da compito, per questo ti chiedo comunque un aiuto sul secondo esercizio che ti ho posto.
Grazie
allora, primo punto del secondo esercizio va bene..
secondo punto:
io mi sono costruito la matrice AX.. la matrice AX mi viene: | ( x , y+2z ),( x , y-8z ) | , suppongo che ora dovrei porre ad esempio:
x=0, y+2z=1,y-8z=-5..mi sono trovato i valori di x y e z, ma che ci faccio? cioe li mi chiede tutte le matrici X per cui AX=B..io ne ho trovata solo una diciamo.. sbaglio procedimento?.. non so, se mi puoi aiutare..
secondo punto:
io mi sono costruito la matrice AX.. la matrice AX mi viene: | ( x , y+2z ),( x , y-8z ) | , suppongo che ora dovrei porre ad esempio:
x=0, y+2z=1,y-8z=-5..mi sono trovato i valori di x y e z, ma che ci faccio? cioe li mi chiede tutte le matrici X per cui AX=B..io ne ho trovata solo una diciamo.. sbaglio procedimento?.. non so, se mi puoi aiutare..
Il procedimento è corretto, finché si ragiona con matrici di ordine così piccolo. Per trovare tutte le matrici che soddisfano a quella relazione devi sommare alla matrice particolare che hai trovato "matrici generiche" che hanno come colonne le coordinate dei vettori appartenenti al nucleo di \(\displaystyle A \). Infatti se \(\displaystyle C \) è una soluzione particolare dell'equazione \(\displaystyle AX=B \), siano \(\displaystyle K \) tutte le matrici tali che \(\displaystyle AK=0 \); allora le \(\displaystyle X \) saranno tutte del tipo \(\displaystyle C+K \) in quanto \(\displaystyle A(C+K)=AC+AK=AC=B \).
Ma il nucleo di \(\displaystyle A \) non contiene vettori all'infuori di quello banale, quindi...
Ma il nucleo di \(\displaystyle A \) non contiene vettori all'infuori di quello banale, quindi...
Scusa, ho capito i lragionamento che fai con K... ma non ho capito bene cosa devo fare per risolvere il quesito che mi viene chiesto, se potresti svolgerlo..allora da come hai detto tu: io ho trovato la matrice AX..poi pero non ho captio questo passaggio: "Per trovare tutte le matrici che soddisfano a quella relazione devi sommare alla matrice particolare che hai trovato "matrici generiche" che hanno come colonne le coordinate dei vettori appartenenti al nucleo di A", che centra il nucleo di A?..
Chiaramente quando parlo del nucleo di \(\displaystyle A \) mi riferisco al nucleo dell'applicazione lineare che essa rappresenta.
Allora, faccio un esempio: considera la matrice di ordine \(\displaystyle 2 \) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(\phi)= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \]
Il nucleo di questa applicazione lineare è \[\displaystyle \text{ker} \; \phi= \langle \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \] infatti \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Ora, capisci anche tu che la moltiplicazione a destra per qualsiasi matrice del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} -3\alpha & -3\beta \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \quad \alpha, \; \beta \in \mathbb{R} \] fornirà la matrice banale, perché le sue colonne hanno per coordinate le coordinate di vettori del nucleo (e mi scuso per la ripetizione)...
Il resto dovrebbe essere chiaro; le matrici che ho chiamato \(\displaystyle K \) nel post precedente si costruiscono in questo modo, a patto però che \(\displaystyle A \) ammetta nucleo non banale...
Allora, faccio un esempio: considera la matrice di ordine \(\displaystyle 2 \) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(\phi)= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \]
Il nucleo di questa applicazione lineare è \[\displaystyle \text{ker} \; \phi= \langle \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \] infatti \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Ora, capisci anche tu che la moltiplicazione a destra per qualsiasi matrice del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix} -3\alpha & -3\beta \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \quad \alpha, \; \beta \in \mathbb{R} \] fornirà la matrice banale, perché le sue colonne hanno per coordinate le coordinate di vettori del nucleo (e mi scuso per la ripetizione)...
Il resto dovrebbe essere chiaro; le matrici che ho chiamato \(\displaystyle K \) nel post precedente si costruiscono in questo modo, a patto però che \(\displaystyle A \) ammetta nucleo non banale...
Si ma nel mio caso, io mi trovo ad avere una matrice AX come ho postato gia prima.. per far si che questa sia uguale a B cosa devo fare??, poi nel mio caso la matrice A non ha il nucleo = 0??
"epidemia92":
[...] per far si che questa sia uguale a B cosa devo fare?
Quello che hai fatto, ossia risolvere un sistema lineare.
"epidemia92":
[...] poi nel mio caso la matrice A non ha il nucleo = 0??
Appunto, quindi la soluzione sarà unica.
"Delirium":
[quote="epidemia92"][...] per far si che questa sia uguale a B cosa devo fare?
Quello che hai fatto, ossia risolvere un sistema lineare.
"epidemia92":
[...] poi nel mio caso la matrice A non ha il nucleo = 0??
Appunto, quindi la soluzione sarà unica.[/quote]
ah quindi risolvo il sistema lineare come ho fatto io, ottengo x=0 , y=11/5, z=-3/5... solo la matrice : (0 11/5) (0 -3/5).. soddisfa la condizione AX=B, ritornando al discorso che facevi tu..il nucleo mi viene 0 perchè devo porre tutte le incognite =0 ( come faccio sempre per trovare il nucleo),,quindi x=0 2Y=0 q=0 e -8z=0 ..di conseguenza mi viene il Nucleo= (0,0,0,0)..giusto???.. perchè nel tuo caso però non ragioni come ho fatto io,cioè io capisco perchè ti viene 3 e 1 il nucleo, ma perche non usi 4 incognite???, perche è di ordine 2 invece che 4??
Perché quattro incognite? Stiamo lavorando con vettori di due coordinate... Il nucleo di \(\displaystyle A \) è l'insieme dei vettori che soddisfano alle equazioni del seguente sistema lineare: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] ossia \[\displaystyle \begin{cases} x+2y=0 \\ x-8y=0 \end{cases} \]
Prima non ho scritto i conti perché li ho fatti a occhio.
Prima non ho scritto i conti perché li ho fatti a occhio.
AAAAAAH ok capito, quindi si il nucleo viene 0, e da come hai detto prima (infatti riporta), esiste solo una matrice che soddisfa la condizione AX=B ed è questa: (0 11/5) (0 -3/5)...ho provato anche a vedere con la matrice di nucleo diverso da 0 ed è proprio come dici tu vengono matrici X che dipendono da parametri....... ora quando hai tempo (perchè penso di averti un po rotto...), potresti vedere il punto 3?, allora da come mi avevi detto nel primo post, rango 2, ker=0, quindi matrice invertibile unica ok, ma come si trova questa matrice???..
Io ho pensato: essendo C*Y =C*Y= I.. ed essendo Y appartenente a W, moltiplico la matrice C per la matrice (x y) (0 z) , la matrice iniziale.. e il risultato lo pongo uguale alla matrice identita (1 0) (0 1).. va bene?
mmmm..ho provato ma mi vengono valori del tipo X=0 e x=1..nn penso che va bene..ma ora ho pensato..essendo UNICA..l'unica matrice non è C^-1.. cioè l'inversa di C?? che ho calcolato e viene (1 0) (-1 1), sono quasi sicuro di questo, però in caso fosse giusto, mi puoi dire come dovrei risolvere il problema in caso la matrice inversa non sia unica?? anche se leggendo sul libro vedo che se esiste la matrice inversa è unica quindi bo..pero l'esercizio mi chiede tutte le matrici quindi penso che ci sia la possibilita di questa cosa....
Grazie mille!
Io ho pensato: essendo C*Y =C*Y= I.. ed essendo Y appartenente a W, moltiplico la matrice C per la matrice (x y) (0 z) , la matrice iniziale.. e il risultato lo pongo uguale alla matrice identita (1 0) (0 1).. va bene?
mmmm..ho provato ma mi vengono valori del tipo X=0 e x=1..nn penso che va bene..ma ora ho pensato..essendo UNICA..l'unica matrice non è C^-1.. cioè l'inversa di C?? che ho calcolato e viene (1 0) (-1 1), sono quasi sicuro di questo, però in caso fosse giusto, mi puoi dire come dovrei risolvere il problema in caso la matrice inversa non sia unica?? anche se leggendo sul libro vedo che se esiste la matrice inversa è unica quindi bo..pero l'esercizio mi chiede tutte le matrici quindi penso che ci sia la possibilita di questa cosa....
Grazie mille!
Up!
Allora, intanto io ho parlato di unicità della soluzione, non di unicità dell'inversa. Il perché la soluzione sia unica* è in sostanza lo stesso di prima: sia l'ortogonale dell'immagine che il nucleo sono sottospazi banali, quindi non si può costruire alcuna "matrice generica" \(\displaystyle K \) t.c. \(\displaystyle CK=KC=0 \).
* Falso: la soluzione non è unica. Vedi sviluppi successivi.
* Falso: la soluzione non è unica. Vedi sviluppi successivi.
Si ma, come si trova la soluzione allora? facendo la matrice inversa? e perchè AK=KA=0..cioè perchè =0?, inoltre se non fosse stata unica mi faresti un esempio piu chiaro come hai fatto sopra? grazie mille
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