Esercizio su un azione propriamente discontinua
Non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Sia $ G $ un gruppo di omeomorfismi di uno spazio $ X $ che è $ T_2 $ (cioè di hausdorff). Questo gruppo agisce in modo propriamente discontinuo. Dimostrare che le orbite di $ G $ sono insiemi chiusi e discreti. Il suggerimento è quello di considerare il fatto che ogni punto possiede un intorno che interseca ogni orbita al più una volta
Sinceramente non riesco a vedere la strada da seguire (ed il suggerimento mi confonde ancora di più). Ho provato a considerare il fatto che un'azione di un gruppo suddivide l'insieme nelle orbite che sono disgiunte tra di loro. Per provare a dimostrare che un insieme è chiuso volevo provare a far vedere che il complementare di ogni orbita (cioè l'unione di tutte le altre orbite) per ogni punto contiene un aperto contenuto nell'unione ma non ho avuto nessuna buona idea. Il punto è che non ho chiaro come sfruttare il fatto che l'insieme sia di hausdorff.
EDIT : Facendo un altro esercizio mi è venuta in mente una possibile soluzione, non so se sia corretta :
Essendo un'azione di $ G $ propriamente discontinua allora la proiezione $ p $ al quoziente $ X/G $ è un rivestimento. Essendo X $ T_2 $ lo deve essere anche il quoziente essendo $ p $ un rivestimento (la verifica di questo è un esercizio che ho già fatto e non scrivo). Ma allora è chiaro che passando al quoziente le orbite collassano ad un unico punto. Un punto singolo è un chiuso in uno spazio $ T_2 $ e facendo $ p^(-1) $ del singolo punto trovo l'orbita corrispondente che quindi deve essere chiusa, inoltre sfruttando le proprietà dei rivestimento scopro che è anche discreta. E' corretto ?
Sia $ G $ un gruppo di omeomorfismi di uno spazio $ X $ che è $ T_2 $ (cioè di hausdorff). Questo gruppo agisce in modo propriamente discontinuo. Dimostrare che le orbite di $ G $ sono insiemi chiusi e discreti. Il suggerimento è quello di considerare il fatto che ogni punto possiede un intorno che interseca ogni orbita al più una volta
Sinceramente non riesco a vedere la strada da seguire (ed il suggerimento mi confonde ancora di più). Ho provato a considerare il fatto che un'azione di un gruppo suddivide l'insieme nelle orbite che sono disgiunte tra di loro. Per provare a dimostrare che un insieme è chiuso volevo provare a far vedere che il complementare di ogni orbita (cioè l'unione di tutte le altre orbite) per ogni punto contiene un aperto contenuto nell'unione ma non ho avuto nessuna buona idea. Il punto è che non ho chiaro come sfruttare il fatto che l'insieme sia di hausdorff.
EDIT : Facendo un altro esercizio mi è venuta in mente una possibile soluzione, non so se sia corretta :
Essendo un'azione di $ G $ propriamente discontinua allora la proiezione $ p $ al quoziente $ X/G $ è un rivestimento. Essendo X $ T_2 $ lo deve essere anche il quoziente essendo $ p $ un rivestimento (la verifica di questo è un esercizio che ho già fatto e non scrivo). Ma allora è chiaro che passando al quoziente le orbite collassano ad un unico punto. Un punto singolo è un chiuso in uno spazio $ T_2 $ e facendo $ p^(-1) $ del singolo punto trovo l'orbita corrispondente che quindi deve essere chiusa, inoltre sfruttando le proprietà dei rivestimento scopro che è anche discreta. E' corretto ?
Risposte
Un paio di note:
1) si scrive un'azione;
2) Felix Hausdorff è stato un grande matematico;
3) sono troppo pigro per andare a rivedere che significa che un gruppo agisce propriamente in maniera discontinua su uno spazio topologico
potresti ricordarmi la definizione?, grazie. 
1) si scrive un'azione;
2) Felix Hausdorff è stato un grande matematico;
3) sono troppo pigro per andare a rivedere che significa che un gruppo agisce propriamente in maniera discontinua su uno spazio topologico
potresti ricordarmi la definizione?, grazie.
1) Grazie per la segnalazione dell'errore 
2) Non lo metto in dubbio, ma per questo esame mi sta facendo un po' penare
3) La definizione è : un gruppo $ G $, sottogruppo del gruppo $ Omeo(X) $ agisce in maniera propriamente discontinua se per ogni punto $ x in X $ esiste un intorno $ U $ tale che $ g(U) nn U = O/ $ per ogni $ g in G $
2) Non lo metto in dubbio, ma per questo esame mi sta facendo un po' penare
3) La definizione è : un gruppo $ G $, sottogruppo del gruppo $ Omeo(X) $ agisce in maniera propriamente discontinua se per ogni punto $ x in X $ esiste un intorno $ U $ tale che $ g(U) nn U = O/ $ per ogni $ g in G $
Perché \(\displaystyle p:X\to X/G\) sarebbe un rivestimento?
Che sulle orbite vi sia la topologia discreta è facile: sia \(\displaystyle x\in X\) e \(\displaystyle g^n(x):=g(g(\dots g(x)))\,n\) volte; per l'ipotesi sull'azione, esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x\) tale che \(\displaystyle U\cap g^n(U)=\emptyset\); se esistesse un insieme aperto \(\displaystyle V\) in \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle x,g^n(x)\in V\), come otterresti una contraddizione?
Che sulle orbite vi sia la topologia discreta è facile: sia \(\displaystyle x\in X\) e \(\displaystyle g^n(x):=g(g(\dots g(x)))\,n\) volte; per l'ipotesi sull'azione, esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x\) tale che \(\displaystyle U\cap g^n(U)=\emptyset\); se esistesse un insieme aperto \(\displaystyle V\) in \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle x,g^n(x)\in V\), come otterresti una contraddizione?
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