Esercizio su spplicazioni lineari ed endomorfismi
Salve a tutti ilproblema è questo:
Sia $\varphi$ : $R^3$ ---> $R^3$ un'applicazione lineare cosi definita:
$\varphi$ ($x_1$,$x_2$,$x_3$) = (4$x_1$ + 3$x_2$, $x_1$ + 2$x_2$, 2$x_1$ - 6$x_2$ + (t+2)$x_3$)
1. scrivere la matrice associta a $\varphi$
2. determianre i valori di t per cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t = -2 , Ker$\varphi$ e Im$\varphi$
4. determinare sempre tenendo conto che t = -2 la controimmagine di ([1, 2, -1)]
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ (al variare di t) e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= 1.
Allora per quanto riguarda il primo punto la matrice associata é:
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,t+2))$
Per quanto riguarda il secondo punto devo procedere ricordando che $\varphi$ è un isomorfismo se è invertibile . E' vero??
in tal caso facendo riferimento ala matrice devo ricordare che una matrice (quadrata in tal caso ) è invertibile se il suo determinante è non nullo.
il determiannte della matrice mi viene svolgendo tutti i calcoli: 5(t + 2)
che posto diverso da 0 mi da t$!=$ -2 . cioè per t $!=$ -2 tale endomorfismo è un isomorfismo.
Vi chiedo se ho fatto qualche errore. Se potete correggetemi.. vi ringrazio
ora il problema sorge CON IL PUNTO 3 E I RESTANTI...
POTRESTE DARMI UNA MANO A CAPIRE ...DANDOMI QUALCHE SUGGERIEMNTO O UN'IDEA...???
vI RINGRAZIO DI CUORE... è MOLTO IMPORTANTE ..TRA POCHI GIORNI C'HO L'ESAME...
GRAZIE ANCORA PER LA DISPONIBILITA'.
Sia $\varphi$ : $R^3$ ---> $R^3$ un'applicazione lineare cosi definita:
$\varphi$ ($x_1$,$x_2$,$x_3$) = (4$x_1$ + 3$x_2$, $x_1$ + 2$x_2$, 2$x_1$ - 6$x_2$ + (t+2)$x_3$)
1. scrivere la matrice associta a $\varphi$
2. determianre i valori di t per cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t = -2 , Ker$\varphi$ e Im$\varphi$
4. determinare sempre tenendo conto che t = -2 la controimmagine di ([1, 2, -1)]
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ (al variare di t) e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= 1.
Allora per quanto riguarda il primo punto la matrice associata é:
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,t+2))$
Per quanto riguarda il secondo punto devo procedere ricordando che $\varphi$ è un isomorfismo se è invertibile . E' vero??
in tal caso facendo riferimento ala matrice devo ricordare che una matrice (quadrata in tal caso ) è invertibile se il suo determinante è non nullo.
il determiannte della matrice mi viene svolgendo tutti i calcoli: 5(t + 2)
che posto diverso da 0 mi da t$!=$ -2 . cioè per t $!=$ -2 tale endomorfismo è un isomorfismo.
Vi chiedo se ho fatto qualche errore. Se potete correggetemi.. vi ringrazio
ora il problema sorge CON IL PUNTO 3 E I RESTANTI...
POTRESTE DARMI UNA MANO A CAPIRE ...DANDOMI QUALCHE SUGGERIEMNTO O UN'IDEA...???
vI RINGRAZIO DI CUORE... è MOLTO IMPORTANTE ..TRA POCHI GIORNI C'HO L'ESAME...
GRAZIE ANCORA PER LA DISPONIBILITA'.
Risposte
se non m sbaglio una matrice quadrata è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale...o sbaglio??
"qwert90":
se non m sbaglio una matrice quadrata è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale...o sbaglio??
Questo va bene.
Ma come fai ad usarlo?!
Pensa a qualcos'altro o prova a sfogliare il tuo libro alla ricerca di un teorema (che conivolga le molteplicità algebriche e geometriche...)
Forse dovrebbe essere che una matrice quadrata con n righe è diagonalizzabile se e solo se
la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n e le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono .... o mi sbaglio?
grazie per la disponibilità...
la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n e le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono .... o mi sbaglio?
grazie per la disponibilità...
"qwert90":
Forse dovrebbe essere che una matrice quadrata con n righe è diagonalizzabile se e solo se
la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n e le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore coincidono .... o mi sbaglio?
grazie per la disponibilità...
Esattamente.
Quindi lascia t generico e vai a calcolarti gli autovalori della tua matrice
ho la matrice
$((4-lambda,3,0),(1,2-lambda,0),(2,-6,t+2-lambda))$
quindi per caclolare gli autovalori devo trovare il determianante di qst matrice che è svolgendo tt i calcoli:
(t + 2 -lambda)*(5- 2*lmbda) ...
scusami la scrittura... ora gli autovalori sn le radici di tale polinomio... come faccio a determianrle?
ho privato a calcolarle dovrebbero essere :
lambda = 5/2 e l'latra è lambda = t+2 ...
scusami ancora per la scrittura ma devo acquisire ancora dimistichezza...
$((4-lambda,3,0),(1,2-lambda,0),(2,-6,t+2-lambda))$
quindi per caclolare gli autovalori devo trovare il determianante di qst matrice che è svolgendo tt i calcoli:
(t + 2 -lambda)*(5- 2*lmbda) ...
scusami la scrittura... ora gli autovalori sn le radici di tale polinomio... come faccio a determianrle?
ho privato a calcolarle dovrebbero essere :
lambda = 5/2 e l'latra è lambda = t+2 ...
scusami ancora per la scrittura ma devo acquisire ancora dimistichezza...
"qwert90":
ho la matrice
$((4-lambda,3,0),(1,2-lambda,0),(2,-6,t+2-lambda))$
quindi per caclolare gli autovalori devo trovare il determianante di qst matrice che è svolgendo tt i calcoli:
(t + 2 -lambda)*(5- 2*lmbda) ...
scusami la scrittura... ora gli autovalori sn le radici di tale polinomio... come faccio a determianrle?
ho privato a calcolarle dovrebbero essere :
lambda = 5/2 e l'latra è lambda = t+2 ...
scusami ancora per la scrittura ma devo acquisire ancora dimistichezza...
Per la scrittura basta che metti il dollaro all'inizio e alla fine di ogni formula e vedrai che tutto diventa più leggibile.
Per quanto riguarda il calcolo prova a rifarlo perchè $t+2-\lambda$ è corretto ma nell'altro termine dovrebbe comparire anche un $\lambda^2$...
allora le radici a questo punto dovrebbero essere 3:
$t+2-lambda$ * $lambda^2-6lambda+5$ (qst è il determianante)
le radici sono :
$\lambda$ = t+2
$\lambda$ = 5
$\lambda$ = 1
è così?
$t+2-lambda$ * $lambda^2-6lambda+5$ (qst è il determianante)
le radici sono :
$\lambda$ = t+2
$\lambda$ = 5
$\lambda$ = 1
è così?
"qwert90":
allora le radici a questo punto dovrebbero essere 3:
$t+2-lambda$ * $lambda^2-6lambda+5$ (qst è il determianante)
le radici sono :
$\lambda$ = t+2
$\lambda$ = 5
$\lambda$ = 1
è così?
Esattamente.
Ora si dovrebbe vedere quando la somma delle molteplicità algebriche è 3 (ma questo lo è sempre se non hai autovalori che sono numeri complessi)
e soprattutto che per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincida con la molteplicità algebrica.
Ora se hai 3 autovalori distinti ciò è ovvio e quindi ogni volta che hai una matrice quadrata nxn con n autovalori distinti, essa è automaticamente diagonalizzabile.
In questo caso devi discutere gli autovalori che hai al variare di t.
Per quali t hai 3 autovalori distinti (e quindi la matrice è diagonalizzabile)?
E per quei valori di t in cui ci sono 2 autovalori coincidenti, la molteplicità geometrica di tale autovalore coincidente è 2 (e quindi la matrice è ancora diagonalizzabile) o no (e quindi non è diagonalizzabile)?
per misanino :
una volta calcolcate le radici come pensi che debba proseguire?
grazie 1000
una volta calcolcate le radici come pensi che debba proseguire?
grazie 1000
"qwert90":
per misanino :
una volta calcolcate le radici come pensi che debba proseguire?
grazie 1000
Come ti ho scritto nel post precedente (leggilo attentamente),
cioè devi discutere se gli autovalori sono uguali o distinti al variare di t e, se ce ne sono di uguali, andare a calcolarne la molteplicità geometrica
perdonami miasnino non avevo mletto per niente il post delle 15.38! perdonami!
quindi devo porre contemporaneamente
$t+2$ $!=$ 5
e
$t+2$ $!=$ 1
e viene che
t $!=$ 3 e t $!=$ -1
quindi per questi valori di t gli autovalori sono distinti tra loro.
noto poi (a meno che non mi sbagli) che se ammettiamo che t sia uguale a 3 o che t sia uguale a -1 abbiamo due autovalori coincidenti ...ecco poid a qui in poi mi sono perso perchè nel tuo post non ho capito bene quando dici "E per quei valori di t in cui ci sono 2 autovalori coincidenti...."
potresti spiegarmi ?
grazie.
$t+2$ $!=$ 5
e
$t+2$ $!=$ 1
e viene che
t $!=$ 3 e t $!=$ -1
quindi per questi valori di t gli autovalori sono distinti tra loro.
noto poi (a meno che non mi sbagli) che se ammettiamo che t sia uguale a 3 o che t sia uguale a -1 abbiamo due autovalori coincidenti ...ecco poid a qui in poi mi sono perso perchè nel tuo post non ho capito bene quando dici "E per quei valori di t in cui ci sono 2 autovalori coincidenti...."
potresti spiegarmi ?
grazie.
perdonami se forse ti è arrivato piu volte lo stesso messaggio ma il mio pc è impazzito... scusami tanto
chiedo scusa a misanino per caso mi hai inviato una risposta???
perchè mi è arrivato il messaggio di una risposta riveuta da te ... ma non riesco prp a visualizzarla... potresti tinviare la riposta?
perchè mi è arrivato il messaggio di una risposta riveuta da te ... ma non riesco prp a visualizzarla... potresti tinviare la riposta?
comunque nello scrivere la matrice associata a alla funzione i vettori vanno scritti per colonna $ | ( 4 , 1 , 2 ),( 3 , 2 , -6 ),( 0 , 0 , t+2 ) | $
"qwert90":
quindi devo porre contemporaneamente
$t+2$ $!=$ 5
e
$t+2$ $!=$ 1
e viene che
t $!=$ 3 e t $!=$ -1
quindi per questi valori di t gli autovalori sono distinti tra loro.
noto poi (a meno che non mi sbagli) che se ammettiamo che t sia uguale a 3 o che t sia uguale a -1 abbiamo due autovalori coincidenti ...ecco poid a qui in poi mi sono perso perchè nel tuo post non ho capito bene quando dici "E per quei valori di t in cui ci sono 2 autovalori coincidenti...."
potresti spiegarmi ?
Molto bene.
Quindi per $t!=3$ e $t!=-1$ si ha che la matrice è diagonalizzabile.
Consideriamo ora questi 2 casi.
Prima consideriamo il caso $t=3$
Se t=3 abbiamo un autovalore di molteplicità algebrica 1 ed è l'autovalore 1
e abbiamo un autovalore di molteplicità algebrica 2 ed è l'autovalore 5 (perchè abbiamo t+2=5).
Perciò dobbiamo calcolare la molteplicità geometrica dell'autovalore 5.
Se essa viene 2 allora la matrice è diagonalizzabile.
Se invece viene 1 allora non è diagonalizzabile.
Ora sei capace di calcolare la molteplicità geometrica relativa ad un autovalore?
Se no prova a dare un'occhiata sul tuo libro e vedi cosa riesci a capire
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