Esercizio su spplicazioni lineari ed endomorfismi
Salve a tutti ilproblema è questo:
Sia $\varphi$ : $R^3$ ---> $R^3$ un'applicazione lineare cosi definita:
$\varphi$ ($x_1$,$x_2$,$x_3$) = (4$x_1$ + 3$x_2$, $x_1$ + 2$x_2$, 2$x_1$ - 6$x_2$ + (t+2)$x_3$)
1. scrivere la matrice associta a $\varphi$
2. determianre i valori di t per cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t = -2 , Ker$\varphi$ e Im$\varphi$
4. determinare sempre tenendo conto che t = -2 la controimmagine di ([1, 2, -1)]
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ (al variare di t) e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= 1.
Allora per quanto riguarda il primo punto la matrice associata é:
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,t+2))$
Per quanto riguarda il secondo punto devo procedere ricordando che $\varphi$ è un isomorfismo se è invertibile . E' vero??
in tal caso facendo riferimento ala matrice devo ricordare che una matrice (quadrata in tal caso ) è invertibile se il suo determinante è non nullo.
il determiannte della matrice mi viene svolgendo tutti i calcoli: 5(t + 2)
che posto diverso da 0 mi da t$!=$ -2 . cioè per t $!=$ -2 tale endomorfismo è un isomorfismo.
Vi chiedo se ho fatto qualche errore. Se potete correggetemi.. vi ringrazio
ora il problema sorge CON IL PUNTO 3 E I RESTANTI...
POTRESTE DARMI UNA MANO A CAPIRE ...DANDOMI QUALCHE SUGGERIEMNTO O UN'IDEA...???
vI RINGRAZIO DI CUORE... è MOLTO IMPORTANTE ..TRA POCHI GIORNI C'HO L'ESAME...
GRAZIE ANCORA PER LA DISPONIBILITA'.
Sia $\varphi$ : $R^3$ ---> $R^3$ un'applicazione lineare cosi definita:
$\varphi$ ($x_1$,$x_2$,$x_3$) = (4$x_1$ + 3$x_2$, $x_1$ + 2$x_2$, 2$x_1$ - 6$x_2$ + (t+2)$x_3$)
1. scrivere la matrice associta a $\varphi$
2. determianre i valori di t per cui $\varphi$ è un isomorfismo
3. determinare nel caso in cui t = -2 , Ker$\varphi$ e Im$\varphi$
4. determinare sempre tenendo conto che t = -2 la controimmagine di ([1, 2, -1)]
5. studiare la diagonalizzabilità di $\varphi$ (al variare di t) e se possibile diagonalizzarla nel caso in cui t= 1.
Allora per quanto riguarda il primo punto la matrice associata é:
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,t+2))$
Per quanto riguarda il secondo punto devo procedere ricordando che $\varphi$ è un isomorfismo se è invertibile . E' vero??
in tal caso facendo riferimento ala matrice devo ricordare che una matrice (quadrata in tal caso ) è invertibile se il suo determinante è non nullo.
il determiannte della matrice mi viene svolgendo tutti i calcoli: 5(t + 2)
che posto diverso da 0 mi da t$!=$ -2 . cioè per t $!=$ -2 tale endomorfismo è un isomorfismo.
Vi chiedo se ho fatto qualche errore. Se potete correggetemi.. vi ringrazio
ora il problema sorge CON IL PUNTO 3 E I RESTANTI...
POTRESTE DARMI UNA MANO A CAPIRE ...DANDOMI QUALCHE SUGGERIEMNTO O UN'IDEA...???
vI RINGRAZIO DI CUORE... è MOLTO IMPORTANTE ..TRA POCHI GIORNI C'HO L'ESAME...
GRAZIE ANCORA PER LA DISPONIBILITA'.
Risposte
Nessuno può darmi una mano?? per piacere 
ah ..al punto 4 ho sbagliato a scrivere... intendevo dire l'antiimmagine e non la controimmagine
ah ..al punto 4 ho sbagliato a scrivere... intendevo dire l'antiimmagine e non la controimmagine
I primi 2 punti sono corretti.
Ora per il 3° punto sostituisci -2 al posto di t e ottieni la matrice che chiamo A.
Ora per determinare Ker e Im devi fare la riduzione a gradini di tale matrice.
Ora per il 3° punto sostituisci -2 al posto di t e ottieni la matrice che chiamo A.
Ora per determinare Ker e Im devi fare la riduzione a gradini di tale matrice.
per misanino
pongo t= -2 ed ottengo
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,0))$
che ridotta a scalini diventa:
$((4,3,0),(0,5,0),(0,0,0))$
ed ora?
graize mille
pongo t= -2 ed ottengo
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,0))$
che ridotta a scalini diventa:
$((4,3,0),(0,5,0),(0,0,0))$
ed ora?
graize mille
"qwert90":
per misanino
pongo t= -2 ed ottengo
$((4,3,0),(1,2,0),(2,-6,0))$
che ridotta a scalini diventa:
$((4,3,0),(0,5,0),(0,0,0))$
ed ora?
graize mille
Ora vedi che c'è una riga nulla e quindi dim(ker)=1 e dim(Im)=2.
Per trovare una base dell'immagine guarda le colonne in cui ci sono i pivot (sai cosa sono vero?!)
La base di Im è data da queste colonne prese però dalla matrice di partenza (non ridotta a scalini).
Per trovare una base del Ker ti basta risolvere il sistema omogeneo abbinato alla matrice a scalini
quindi una baase di Im è data da [(4, 1, 2), (3, 2, -6)]
vero??
e per il ker il sistema abbinato sarebbe
$\{(4x + 3y = 0),(5y = 0):}$
è questo vero??
e che risolto darebbe :
y= 0
e x=0
oppure mi sbaglio??
e quidni che conclusioni posso trarre?? quale è il ker??
grazie 1000
vero??
e per il ker il sistema abbinato sarebbe
$\{(4x + 3y = 0),(5y = 0):}$
è questo vero??
e che risolto darebbe :
y= 0
e x=0
oppure mi sbaglio??
e quidni che conclusioni posso trarre?? quale è il ker??
grazie 1000
"qwert90":
quindi una baase di Im è data da [(4, 1, 2), (3, 2, -6)]
vero??
e per il ker il sistema abbinato sarebbe
$\{(4x + 3y = 0),(5y = 0):}$
è questo vero??
e che risolto darebbe :
y= 0
e x=0
oppure mi sbaglio??
e quidni che conclusioni posso trarre?? quale è il ker??
grazie 1000
Bene l'immagine.
bene anche il Ker er quindi ottieni $x=0$, $y=0$ mentre su z non hai alcuna limitazione.
perciò il Ker è dato dai vettori $(0,0,\alpha)$ con $\alpha\inRR$ e una base si ottiene ponendo ad esempio $\alpha=1$ e hai così $(0,0,1)$
e scusami perchè dovrei porre z = alfa ?
"qwert90":
e scusami perchè dovrei porre z = alfa ?
Tu hai le incognite $x,y,z$.
Risolvi il sistema e hai che $x=0$, $y=0$.
Perciò z è qualsiasi e quindi devi imporre che z è qualsiasi e un modo di imporre che z è qualsiasi è dire che $z=\alpha$ dove $\alpha$ è un qualsiasi numero in $RR$.
Infatti avrai sempre dei parametri liberi quando determini il Ker (a meno che esso non sia 0) perchè se non è 0 deve avere dimensione almeno 1 e quindi deve avere almeno un parametro libero
capito capito grazie 1000!
e per il putno 4... l'antiimmagine come la posso calcolare...non riesco...dovrei risolvere un sistema forse?? nn so... ho le idee poco chiare...
potresti aiutarmi??
grazie infinte per la tua disponibilità!
grazie 1000!e per il putno 4... l'antiimmagine come la posso calcolare...non riesco...dovrei risolvere un sistema forse?? nn so... ho le idee poco chiare...
potresti aiutarmi??
grazie infinte per la tua disponibilità!
"qwert90":
capito capito
e per il putno 4... l'antiimmagine come la posso calcolare...non riesco...dovrei risolvere un sistema forse?? nn so... ho le idee poco chiare...
potresti aiutarmi??
grazie infinte per la tua disponibilità!
Per il punto 4 prendi un generico vettore di $RR^3$ che chiamo $v=(x,y,z)$.
Ora imponi che $\Phi(x,y,z)=(1,2,-1)$ usando la definizione iniziale di $\Phi$ e risolvi il sistema che ne esce trovando x,y,z (può darsi che vengano anche qui dei parametri liberi poichè per t=-2 non hai un isomorfismo e quindi potresti avere tante controimmagini)
cioè praticamente dovrei fare così:
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y + t+2 = -1):}$
cosi si dovrebbe fare... ed ora io ho provato a risolverlo ma mi blocco...
ora dovre mettere tutto in una matrice?
e poi dovrei separare la matrice incompleta dei coefficienti delle incognite dalla colonna dei termini noti e poi riduco a scalini e devo vedere se il rango della matrice incompleta è diverso da quella completa??
io prima cosi ho provato a fare ma mi sn bloccato...
potresti seguirmi un pò passo passo... suggerendomi qlc idea?
ti ringrazio mille volte per la pazienza che hai
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y + t+2 = -1):}$
cosi si dovrebbe fare... ed ora io ho provato a risolverlo ma mi blocco...
ora dovre mettere tutto in una matrice?
e poi dovrei separare la matrice incompleta dei coefficienti delle incognite dalla colonna dei termini noti e poi riduco a scalini e devo vedere se il rango della matrice incompleta è diverso da quella completa??
io prima cosi ho provato a fare ma mi sn bloccato...
potresti seguirmi un pò passo passo... suggerendomi qlc idea?
ti ringrazio mille volte per la pazienza che hai
"qwert90":
cioè praticamente dovrei fare così:
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y + t+2 = -1):}$
cosi si dovrebbe fare... ed ora io ho provato a risolverlo ma mi blocco...
ora dovre mettere tutto in una matrice?
e poi dovrei separare la matrice incompleta dei coefficienti delle incognite dalla colonna dei termini noti e poi riduco a scalini e devo vedere se il rango della matrice incompleta è diverso da quella completa??
io prima cosi ho provato a fare ma mi sn bloccato...
potresti seguirmi un pò passo passo... suggerendomi qlc idea?
ti ringrazio mille volte per la pazienza che hai
Guarda che devi considerare t=-2!!
E ti consiglio di risolverlo direttamente per sostituzione (ricordati che potrebbe uscire anche nessuna soluzione perchè, non essendo per t=-2 un isomorfismo, un certo vettore potrebbe anche non avere controimmagini)
scusami il sistema è il segunete viene cosi poi
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y = -1):}$
nel post precedente ho dimenticato di sostituire la t
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y = -1):}$
nel post precedente ho dimenticato di sostituire la t
Ora devo andar via.
Continuiamo stasera
Continuiamo stasera
in questo caso risolvendo per sostiutiozne mi verrebbe a meno che non abbia fatto errori di calcolo che non c'è nessuna soluzione... o sbaglio?
ok a stasera
"qwert90":
scusami il sistema è il segunete viene cosi poi
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y = -1):}$
nel post precedente ho dimenticato di sostituire la t
Hai il sistema
$\{(4x + 3y = 1),(x + 2y = 2),(2x - 6y = -1):}$
Dalla seconda ricavi $x=2-2y$
Sostituisci nelle altre 2 e ottieni
$\{(8-8y + 3y = 1),(4-4y - 6y = -1):}$
cioè
$\{(7-5y=0),(5-10y=0):}$
che è impossibile.
Perciò il punto (1,2,-1) non ha nessuna controimmagine (sempre che non ci sia qualche errore di calcolo nel sistema, che non ho controllato, ma in ogni caso il procedimento e il ragionamento è questo)
okok grazie tante misanino.
per il putno 5 hai qualche suggerimento da darmi ??
grazie per la pazienza
misanino.per il putno 5 hai qualche suggerimento da darmi ??
grazie per la pazienza
salve a tutti potreste darmi una grossa mano con il punto 5...???
è molto importante .. vi ringrazio di cuore !!!
grazie 1000 se potete aiutatemi..
è molto importante .. vi ringrazio di cuore !!!
grazie 1000 se potete aiutatemi..
"qwert90":
salve a tutti potreste darmi una grossa mano con il punto 5...???
è molto importante .. vi ringrazio di cuore !!!
grazie 1000 se potete aiutatemi..
Passiamo al punto 5.
Prima di tutto ti chiedo:
quando una matrice è diagonalizzabile?
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