Esercizio su spazio vettoriale

[Ketto411]

Dato $V=(z \in C^4$ tale che $z_1+z_2-z_3-2z_4=0$) Trovare basi di $V$

La soluzione:
i vettori $c_1-c_2; c_1+c_3$; $2c_1+c_4$ costituiscono una base di $V$

Perchè?

Grazie

[mod="Luc@s"] Non scrivere in maiuscolo, equivale ad urlare e soprattutto Aiutoooooooooooo non è un buon modo di cominciare un topic in una sezione, oltretutto, sbagliata.[/mod]

[Fioravante Patrone1]

Ciao e benvenuto/a.

[mod="Fioravante Patrone"]Penso sia opportuno che tu dia un'occhiata al regolamento del forum.[/mod]


Credo che inoltre dovresti usare la gentilezza di dire agli utenti del forum chi sono i vettori $c_i$ che menzioni. Non ti pare?

[Ketto411]

Sorry

Dato V=(z appartiene C^4 tale che z1+z2-z3-2z4=0) Trovare basi di V

La soluzione:
i vettori e1-e2; e1+ce3; 2e1+e4 costituiscono una base di V (vettori base canonica)

PERCHE'!!!!!!!!!!!

[Ketto411]

Scusate l'ignoranza, ma la mia difficoltà sta proprio nella trasformazione dell'equazione in parametrica. Potete darmi altre delucidazioni??

Grazie

[enpires1]

"Ketto411":Sorry

Dato V=(z appartiene C^4 tale che z1+z2-z3-2z4=0) Trovare basi di V

La soluzione:
i vettori e1-e2; e1+ce3; 2e1+e4 costituiscono una base di V (vettori base canonica)

PERCHE'!!!!!!!!!!!

Vediamo se l'algebra lineare che ho studiato l'ho fatta bene (se sbaglio prego a chi è più bravo di me di correggermi)

Suppongo che C^4 indichi $CC^4$ giusto??
Io innansitutto scriverei la matrice che mi rappresenta la funzione rispetto alle basi canoniche
Siccome hai 3 variabili libere, questo Sp Vett sarà dim(V) = 3
Pongo $z_2 = 1, z_3 = 0, z_4 = 0$
Ottengo $v_1 = ((-1),(1),(0),(0))$
Pongo $z_2 = 0, z_3 = 1, z_4 = 0$
Ottengo $v_1 = ((1),(0),(1),(0))$
Pongo $z_2 = 0, z_3 = 0, z_4 = 1$
Ottengo $v_1 = ((2),(0),(0),(1))$

Adesso hai la matrice associata $A = ((-1,1,2),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ (calcolandoti il rango ti ritrovi che è uguale a 3, ovvero V ha massimo 3 vettori linearmente dipendenti, ovvero dim(v) = 3)

La matrice ci indica anche che $f((z_1),(z_2),(z_3),(z_4)) \rarr ((-z_2 + z_3 + 2z_4),(z_2),(z_3),(z_4))$

Il fatto che V abbia dimensione uguale a 3 ci dice che è possibile che $e_1-e_2; e_1+e_3; 2e_1+e_4$ siano una base per V (siccome una base di V ha 3 vettori)
Adesso dobbiamo verificare l'altra condizione affinche siano una base, ovvero che $f(e_1-e_2), f(e_1+e_3) ed f(2e_1+e_4)$ siano linearmente indipendenti:
Ricordando che $e_1,e_2,e_3,e_4$ sono le basi canoniche di $CC^4$ ovvero
$e_1=((1),(0),(0),(0)) ; e_2=((0),(1),(0),(0)); e_3=((0),(0),(1),(0)); e_4=((0),(0),(0),(1))$
Ti basta verificare che $e_1-e_2; e_1+e_3; 2e_1+e_4$ non vanno a finire nel $Ker(f)$ e che le Immagini di questi 3 vettori siano tra loro linearmente indipendenti (ovvero che $ \lambda_1 f(e_1-e_2) + \lambda_2 f(e_1+e_3) + \lambda_3 f(2e_1+e_4) = 0 \hArr \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$)

[Ketto411]

...........Grazie!!! Scusa ancora ma avrei bisogno di un altro chiarimento!!!!

Nel caso V = { (x1,x2,x3,x4) tale che x1-x2+x4 =1)} anche in questo caso ho 3 variabili libere???? Nonostante x3=0????

[@melia]

Dove sta scritto che $x_3=0$?
Se $x_3$ manca dall'equazione significa solo che il suo coefficiente è zero, cioè che $x_3$ è libera di assumere qualunque valore.
Riassumendo hai un vincolo e 4 variabili $=>$ 3 variabili libere.

[Ketto411]

...........quindi il sottospazio di giacitura di V ha equazione x1-x2+x4=0. (3 variabili libere)
e la matrice associata è $((1,0,-1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ ed una sua possibile base è (e1+e2,e3,e2+e4)

oppure (e1+e2,e3,e4-e1) (L'UTIMA BASE E' ESATTA????????????????)

prendiamo (e1+e2,e3,e2+e4) e definisco come eq parametriche

$\{(x1=t1 +1),(x2=t1+t3),(x3=t2),(x4=t3):}$ (GIUSTO???????????)