Esercizio su spazio matriciale

[Exmus]

Salve a tutti! Per la prima volta sto facendo un esercizio su spazi matriciali. Siccome il mio professore non pubblica la risoluzione degli esami dobbiamo arrangiarci noi studenti e creare un file condiviso! Il mio problema riguarda il seguente esercizio:
Sia V = M2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali.
Sia U ⊂ V il sottospazio formato dalle matrici A tali che il vettore (1, −2) appartiene al nucleo di A.
Sia W ⊂ V il sottospazio formato dalle matrici B tali che l’immagine di B `e contenuta nella retta di
equazione y = 2x.

(a) Si determini la dimensione e una base dei sottospazi U e W.
(b) Si determini la dimensione e una base di U + W e U ∩ W.
(c) Data la matrice $ C=( ( 4 , 2 ),( t , -1 ) ) $
Si dica per quale valore di t l’insieme {C + A | per ogni A ∈ U} `e un
sottospazio vettoriale di V .
(d) Si determini (se possibile) una base di un sottospazio vettoriale L ⊂ V tale che U ⊕ L = W ⊕ L =
U + W.


Mio abbozzo di soluzione:

(a) Per U:
Impongo $ C=( ( a , b ),( c , d ) )( ( -1 ),( 2 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ) ) $. Ciò accade solamente se la matrice C è del tipo
$ C=( ( 2b , b ),( 2d , d ) ) $ , per cui una base può essere $ ( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) );( ( 0 , 0 ),( 2 , 1 ) ) $

Per W:
In quanto l' immagine (corrispondenti alle colonne della matrice che cerco) deve appartenere alla retta y=2x ho pensato che una base possa essere $ ( ( 1 , 0 ),( 2 , 0 ) );( ( 0 , 1 ),( 0 , 2 ) ) $

(b)
Intersezione:
Imponendo la generica matrice 2x2 come combinazione lineare delle basi di U e di W ottengo come intersezione $ ( ( 2 , 1 ),( 0 , 0 ) );( ( 1 , 0 ),( 2 , 0 ) ) ;( ( -1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

Somma: Dimensione somma 1, per cui cosa potrei scegliere?


(c) Sicuramente è lineare, come verifico se contiene anche lo zero?

(d) Non so proprio cosa fare...


Chiedo scusa se il topic è molto lungo ma è la prima volta che affronto esercizi simili! Grazie mille per le eventuali risposte

[stenford]

Partiamo dal fatto che dato il sottospazio matriciale , lo si può ricollegare ad uno spazio vettoriale per lo studio di eventuali basi.

ovvero $M2(R)->R^4 : [ ( x_1 , x_2 ),( x_3 , x_4 ) ] -> (x1,x2,x3,x4)$

a) vero
b)il primo ed il secondo vettore non so come li ottieni dall'intersezione a me viene passando ai relativi vettori che :

$rank([ ( 2 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ) ] )=3 ^^ dim([ ( 2 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0, 1 ),( 0 , 2 , 2, 0 ),( 0 , 1 , 0, 2 ) ])=3 $ quindi la quarta matrice ovvero $ [ ( 0 , 1 ),( 0 , 2 ) ] $ è c.l. delle prime tre.
Quindi una base dell'intersezione $U^^W=< [ ( 2 , 1 ),( 4 , 2 ) ]>$ [basta porre U, W in equazione cartesiana ed intersecare].
$dim(U^^W)=1->dim(W+U)=dim(U)+dim(W)-dim(U^^W)=3$
perciò $<[( 2 , 1 ),( 0 , 0 )],[( 0 , 0) ,( 2, 1 )],[( 1 , 0 ),(2, 0 )]> $ sono una base di $U+W$
c) la linearità è già verificata
passando ai corrispettivi vettoriali ottieni che $C=[(4,2 ,t,-1)]$ , lo zero appartiene a C+A per definizione se e solo se
il vettore C è c.l. dei vettori della base di A perciò verificando ottieni che per $t=-2 , C=u_1-u_2 in U$ con $u_i$ vettori della base di $U$
d)Per definizione di somma diretta hai :
$dim(U)+dim(L)=dim(W)+dim(L)=dim(W+U) -> dim(L)=1$
Basta cercare il complemento ortogonale(l'intersezione è per definizione al massimo un punto di dimensione nulla) ad entrambi i sottospazi U, W:
Imponendolo sui vettori della base di $U, W$ si ottiene il vettore $[(-2, 4 ,1 ,-2)]$, tale vettore è ortogonale alla base dell'intersezione, quindi ridefinendo una nuova base per U,W in base al vettore intersezione :
$a in U^^W, U= ^^ W= : u in U-W ^^ w in W- U$
posto $L=<[(-2,4,1,-2])$ ottieni la proprietà di somma diretta