Esercizio su sottospazi e dimensioni

[Manugal]

Ciao.

Ho il seguente esercizio di cui non riesco a capirne la soluzione.

Dati $v_1=(1,0,1,0)$,$v_2=(0,1,0,0)$,$v_3=(1,1,1,0)$,$v_4=(0,1,1,0)$ e $U=$ e $V=$:

Trovare dimensioni di $U$, $W$, $UnnV$, $U+V$ e trovare le equazioni cartesiane di $U+V$

Allora la dimensione di U è 2 come quella di V. Ma non capisco perché si vede subito che $v_3inUnnV$ (essendo linearmente dipendente da $v_1$ e $v_2$). Dopodiché vede se i restanti vettori sono linearmente indipendenti (per vedere se tutti e tre stanno in $U+V$ e in effetti sono indipendenti). Ma se fossero stati dipendenti, quale di questi vettori non era in $U+V$ e dove sarebbe andato a finire. Inoltre vorrei capire, dato che non me lo hanno mai spiegato, come si trovano le equazioni cartesiane di $U+V$.

Grazie.

[_Tipper]

È ovvio che $v_3 \in V$, perché $V = \langle v_3, v_4 \rangle$. D'altronde $v_3 = v_1 + v_2$, con $U = \langle v_1, v_2 \rangle$, quindi $v_3 \in U$, di conseguenza $v_3 \in U \cap V$.

[Manugal]

D'accordo è chiaro. Per le altre due domande? So che sembrano sciocche ma devo capire bene come funzionano queste cose.

Grazie.

[_Tipper]

$U + V$ è l'insieme dei vettori che possono essere scritti come somma di un elemento di $U$ e uno di $V$. In particolare ogni vettore che sta in $U$ sta anche in $U + V$, così come ogni elemento che sta in $V$ sta anche in $U + V$. Dato che $v_1, v_2 \in U$ e $v_3, v_4 \in V$, allora tutti e quattro appartengono ovviamente a $U + V$.

[Manugal]

Ma se tutti e 4 stanno in U+V allora non è vero che $v_3$ sta in $UnnV$, perché altrimenti non combacierebbe con la formula di Grassman:

$dimU+dimV=dim(U+V)+dim(UnnV)$

[_Tipper]

Ma che c'entra? Tramite la formula di Grassman puoi concludere che $\{v_1, v_2, v_3, v_4\}$ non è una base per $U + V$, da che è un insieme dipendente.

[_Tipper]

Comunque, per l'equazione cartesiana, dopo aver notato che $\{v_1, v_2, v_4\}$ è un insieme indipendente, e quindi una base per $U + V$, scrivi il generico vettore di $U + V$, che risulta essere

$\alpha ((1),(0),(1),(0)) + \beta ((0),(1),(0),(0)) + \gamma ((0),(1),(1),(0)) = ((\alpha),(\beta + \gamma),(\alpha + \gamma),(0))$

da cui

$\{(x_1 = \alpha),(x_2 = \beta + \gamma),(x_3 = \alpha + \gamma),(x_4 = 0):}$

Elimini i parametri e il gioco è fatto.

[Manugal]

Ah ecco. Ora ho capito tutto (spero ), grazie.