Esercizio su matrici-spazi vettoriali

[kekko989]

Sono di nuovo qui,purtoppo è periodi di esami e io e la geometria non andiamo molto daccordo.. Volevo chiedervi se era giusta la risoluzione di questo esercizio.
Si considerino i sottospazi $U=((1),(1),(0),(0)),((1),(2),(1),(1)),((0),(1),(1),(1))$ e $W=[(x_1=x_4),(x_2=2x_3)]$ . Determinare le dimensioni di U e W, le equazioni cartesiane di U e una base per W.

Allora,i tre vettori di U sono linearmente dipendenti(il secondo meno il primo,da il terzo), quindi ha dimensione 2, e considero quindi $U<((1),(1),(0),(0)),((0),(1),(1),(1))>$. Analogamente per W, che è in $R^4$ ma abbiamo due condizioni. Una base di W è per esempio $<((1),(0),(0),(1)),((0),(2),(1),(0))>$. Devo poi determinare le dimensioni,basi ed equazioni di $U+V$ e della loro intersezione. Per quanto riguarda l'intersezione, ho trovato due condizioni su U: $x_1-x_2+x_3=0$ e $2x_2-x_4-x_3-2x_1=0$. Mettendo insieme queste due relazioni,con quelle di W, ottengo che l'intersezione ha dimensione 1 e una base potrebbe essere $((1),(2),(1),(1))$. Detto questo,e sono molto scettico del fatto che sia tutto giusto(:wink:),ho un paio di problemi per trovare una base della somma(per la relazione di Grassman deve avere dimensione 3)..

[_Tipper]

Sia $\{v_1, v_2\}$ una base di $U$ e $\{v_3, v_4\}$ una base di $W$. Costruisci la matrice

$((v_1),(v_2),(v_3),(v_4))$ (intendi i vettori come righe)

e riducila a scala (per righe), i vettori diversi dal vettore nullo formano una base della somma.