Esercizio su matrici che permutano

[oabkito]

Ciao ragazzi potreste aiutarmi a svolgere questo esercizio:
"Scrivere le matrici B € M3(R) che permutano con la matrice A= 7 1 0
0 7 0
0 0 7

Queste matrici costituiscono un sottospazio di M3(R) ?
Se si determinarne la dimensione e una base.
In attesa di un vostro aiuto vi ringrazio sin d'ora.

[ZeroMemory]

dire che $B$ commuta con $A$ è equivalente a dire che $B$ commuta con $A-kI$, qualsiasi sia $k$. Infatti

$B(A- kI)=(A-kI)B hArr BA - kB= AB - kB hArr BA=AB$

perciò lo spazio che cerchi è anche lo spazio delle matrici che commutano con $((0, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))$ (basta prendere k=7)...adesso saresti in grado di risolvere l'esercizio?

[oabkito]

no potresti dire come finirlo?

[Seneca1]

@pablito92: Indica quali sono precisamente le tue perplessità.

Ricordo che (regolamento): 1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.

[dragonheart90]

mi sono imbattuto nello stesso esercizio, intanto ho una perplessità... B permuta con A non vuol dire che se moltiplico B*A avrò B che con le righe/o le colonne scambiate di posto? quindi perchè B*A=A*B ?
inoltre ho provato a risolvere come suggerito uguagliando BA=AB

DEFINENDO $ B=( ( a, b , c),( d , e , f ),( g , h , i ) ) $
trovo $ AB=( ( 7a+d, 7b+c , 7c+f),( 7d , 7e , 7f ),( 7g ,7h , 7i ) ) $ e $ BA=( ( 7a, a+7b , 7c),( 7d , 7e+d , 7f ),( 7g ,g+7h , 7i ) ) $

uguagliando i termnini di AB e BA ottengo delle equazioni che mi danno d=0, e=a , f=0 , g=0
quindi B sarebbe del tipo $ B=( ( a, b , c),( 0, a , 0 ),( 0 ,h , i ) ) $

ma se faccio la prova B*A dando dei valori a B, esssa non permuta
poi ho provato anche ad usare una matrice di permutazione BANALE e fare A*B e B*A ... ma i due risultati non risultano uguali.. quindi AB=BA non è condi zione di permutazione?

[Sk_Anonymous]

La matrice B che hai trovato va bene. Ho controllato e risulta effettivamente AB=BA

[dragonheart90]

si ok AB=BA ... ma A*B non è uguale a B permutata quindi B non è una matrice che permuta con A
quindi il procedimento suggerito da ZeroMemory è sbagliato?

[vict85]

"dragonheart90":si ok AB=BA ... ma A*B non è uguale a B permutata quindi B non è una matrice che permuta con A
quindi il procedimento suggerito da ZeroMemory è sbagliato?

In questo caso penso proprio che il termine permuta sia usato nel senso di commuta.

[dragonheart90]

non sapevo che permuta potesse essere usato al posto di commuta... effettivamente adesso ho fatto una prova, se A fosse una matrice di permutazione dovrebbe essere una matrica ortogonale ossia A*A^t=I cosa che non è vera in questo caso

[vict85]

"dragonheart90":non sapevo che permuta potesse essere usato al posto di commuta... effettivamente adesso ho fatto una prova, se A fosse una matrice di permutazione dovrebbe essere una matrica ortogonale ossia A*A^t=I cosa che non è vera in questo caso

Dovrebbe essere ben di più di una matrice ortogonale... Dovrebbe avere un solo 1 per ogni riga e ogni colonna e tutti gli altri dovrebbero essere zeri.