Esercizio su iperbole
Salve ragazzi, non riesco a capire la risoluzione di questo esercizio..
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per asintoti le rette $ a: x-y+1=0 $ e $ b: 2x+y-4=0 $ e passante per il punto p (1,1)
Determinare le equazioni delle tangenti ala conica nei punti d'intersezione con la retta $ c: x+y-2=0 $.
Ho provato sollo il primo punto fino ad ora.. L'unica mia difficoltà è che gli asintoti non passano per il centro e sono inclinat diversamente rispetto all'asse parallelo all'asse x e passante per il loro punto di intersezione. Quindi credo proprio che dovrei fare una rototraslazione di questi asintoti. Togliendo i termini noti ricavo le stesse rette passanti per il centro. Adesso il mio problema è come fare per ruotare le rette in maniera tale da formare angoli uguali con l'asse x così da poterli scrivere nella forma $ y=+- b/a $. Sono nella strada giusta? Se si come riuscire a ruotare tali asintoti? Grazie!
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per asintoti le rette $ a: x-y+1=0 $ e $ b: 2x+y-4=0 $ e passante per il punto p (1,1)
Determinare le equazioni delle tangenti ala conica nei punti d'intersezione con la retta $ c: x+y-2=0 $.
Ho provato sollo il primo punto fino ad ora.. L'unica mia difficoltà è che gli asintoti non passano per il centro e sono inclinat diversamente rispetto all'asse parallelo all'asse x e passante per il loro punto di intersezione. Quindi credo proprio che dovrei fare una rototraslazione di questi asintoti. Togliendo i termini noti ricavo le stesse rette passanti per il centro. Adesso il mio problema è come fare per ruotare le rette in maniera tale da formare angoli uguali con l'asse x così da poterli scrivere nella forma $ y=+- b/a $. Sono nella strada giusta? Se si come riuscire a ruotare tali asintoti? Grazie!
Risposte
con gli strumenti forniti dalla teoria che si studia alle scuole superiori,questo problema presenta,almeno per me,un enorme grado di difficoltà
le cose vanno molto meglio se si applica la teoria delle coniche che si studia all'università
allora,abbiamo l'iperbole (in coordinate omogenee)
$a_(11)x_1^2+2a_(12)x_1x_2+a_(22)x_2^2+2a_(13)x_1x_3+2a_(23)x_2x_3+a_33x_3^2=0$
$5$ condizioni(leggi $5$ equazioni) la determinano univocamente
abbiamo le seguenti informazioni :
passa per il punto $P(1,1,1)$,ha come centro il punto $C(1,2,1)$ ed i punti impropri dei suoi asintoti sono $A_(infty)=(1,1,0)$
e $B_(infty)(1,-2,0)$
per il punto $P$ imponi ovviamente il passaggio per esso
le coordinate del centro sono soluzioni del sistema
$ { ( a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3=0 ),( a_(12)x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3= 0):} $
i punti impropri,del tipo $(l,m,0)$, sono soluzioni dell'equazione
$a_(11)l^2+2a_(12)lm+a_(22)m^2=0$
le cose vanno molto meglio se si applica la teoria delle coniche che si studia all'università
allora,abbiamo l'iperbole (in coordinate omogenee)
$a_(11)x_1^2+2a_(12)x_1x_2+a_(22)x_2^2+2a_(13)x_1x_3+2a_(23)x_2x_3+a_33x_3^2=0$
$5$ condizioni(leggi $5$ equazioni) la determinano univocamente
abbiamo le seguenti informazioni :
passa per il punto $P(1,1,1)$,ha come centro il punto $C(1,2,1)$ ed i punti impropri dei suoi asintoti sono $A_(infty)=(1,1,0)$
e $B_(infty)(1,-2,0)$
per il punto $P$ imponi ovviamente il passaggio per esso
le coordinate del centro sono soluzioni del sistema
$ { ( a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3=0 ),( a_(12)x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3= 0):} $
i punti impropri,del tipo $(l,m,0)$, sono soluzioni dell'equazione
$a_(11)l^2+2a_(12)lm+a_(22)m^2=0$
Ragazzi sono riuscito a risolverlo in modo intuitivo. Non c'era bisogno di traslare gli asintoti (anche perchè credo che sarebbe venuta tutt'altra equzione).
Sono partito dall'eqauazione canonica della conica.
$ a_11x^2+2a_12xy+a_22y^2+2a_13x+2a_23y+a_33=0 $
Gli asintoti da tale equazione si trovano risolvendo rispetto alla x l'equazione dei termini di 2 grado
$ g(x,y)=a_11x^2+2a_12xy+a_22y^2=0 $
Da tale equazione trovo due rette parallele $ c,d $ agli asintoti. Impongo il passaggio per il centro (che mi trovo come intersezione dei due asintoti) di due rette parallele a $ c,d $
Quindi facendo il procedimento inverso, cioè moltiplicando gli asintoti dovrei trovare l'equazione dei termini di 2 grado che mi darebbe già 3 coefficienti. Noto che in tale equazione manca il termine noto. Quindi devo togliere i termini noti anche ai 2 asintoti prima di fare il prodotto (in caso contrario verrebbe l'equazione $ g(x,y)=0 $ con un termine noto)
Avendo un il punto $ P_1(1,1) $ posso trovare il simmetrico rispetto al centro $ C(1,2) $, cioè $ P_2(1,3) $.
L'ultima equazione è quella per ricavare il centro: $ a_11x+a_12y+a_13=0 $, ma anche $ a_12x+a_22y+a_23=0 $.
Mettendo a sistema tali equazioni trovo l'equazione dell'iperbole.
Esiste un modo più semplice e metodico di risolverlo?
Sono partito dall'eqauazione canonica della conica.
$ a_11x^2+2a_12xy+a_22y^2+2a_13x+2a_23y+a_33=0 $
Gli asintoti da tale equazione si trovano risolvendo rispetto alla x l'equazione dei termini di 2 grado
$ g(x,y)=a_11x^2+2a_12xy+a_22y^2=0 $
Da tale equazione trovo due rette parallele $ c,d $ agli asintoti. Impongo il passaggio per il centro (che mi trovo come intersezione dei due asintoti) di due rette parallele a $ c,d $
Quindi facendo il procedimento inverso, cioè moltiplicando gli asintoti dovrei trovare l'equazione dei termini di 2 grado che mi darebbe già 3 coefficienti. Noto che in tale equazione manca il termine noto. Quindi devo togliere i termini noti anche ai 2 asintoti prima di fare il prodotto (in caso contrario verrebbe l'equazione $ g(x,y)=0 $ con un termine noto)
Avendo un il punto $ P_1(1,1) $ posso trovare il simmetrico rispetto al centro $ C(1,2) $, cioè $ P_2(1,3) $.
L'ultima equazione è quella per ricavare il centro: $ a_11x+a_12y+a_13=0 $, ma anche $ a_12x+a_22y+a_23=0 $.
Mettendo a sistema tali equazioni trovo l'equazione dell'iperbole.
Esiste un modo più semplice e metodico di risolverlo?
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