Esercizio su insieme di generatori.
Buonasera,
Si dica se \(\displaystyle A=sin(kx):k\in \mathbb{Z} \) sia un insieme di generatori dello spazio \(\displaystyle V= f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \).
A prescindere già so che il seguente insieme non è un insieme di generatori per \(\displaystyle V\), ma comunque voglio applicare il seguente lemma, per la risoluzione:
Lemma: Sia \(\displaystyle A=(v_1,...,v_n) \) un sottoinsieme di uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \). Supponiamo che lo \(\displaystyle span(B) \) contenga un sistema di generatori di V. Allora \(\displaystyle V=span(A) \).
Mi blocco qui, perché il primo dubbio che mi viene, il quale non mi fa andare avanti, se devo dimostrare che esiste un generico \(\displaystyle C \) sistema di generatori, oppure devo solo dire che esiste il seguente insieme \(\displaystyle C \).
Si dica se \(\displaystyle A=sin(kx):k\in \mathbb{Z} \) sia un insieme di generatori dello spazio \(\displaystyle V= f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \).
A prescindere già so che il seguente insieme non è un insieme di generatori per \(\displaystyle V\), ma comunque voglio applicare il seguente lemma, per la risoluzione:
Lemma: Sia \(\displaystyle A=(v_1,...,v_n) \) un sottoinsieme di uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \). Supponiamo che lo \(\displaystyle span(B) \) contenga un sistema di generatori di V. Allora \(\displaystyle V=span(A) \).
Mi blocco qui, perché il primo dubbio che mi viene, il quale non mi fa andare avanti, se devo dimostrare che esiste un generico \(\displaystyle C \) sistema di generatori, oppure devo solo dire che esiste il seguente insieme \(\displaystyle C \).
Risposte
Usi a sproposito l'aggettivo "seguente", che significa "che segue". Non ha senso usarlo se dopo non c'è niente. A causa di ciò diventa più difficile capire il tuo post.
Comunque, per venire alla domanda, quel lemma non serve qui. Prova ad individuare una proprietà verificata da tutte le combinazioni lineari di $\sin kx$ che non è verificata da tutte le funzioni. Per esempio, la periodicità...
Comunque, per venire alla domanda, quel lemma non serve qui. Prova ad individuare una proprietà verificata da tutte le combinazioni lineari di $\sin kx$ che non è verificata da tutte le funzioni. Per esempio, la periodicità...
Hey dissonance,
Grazie per la risposta.
hai ragione e mi scuso.
Il mio problema principale e come strutturare gli esercizi di questo tipo, o meglio non ho afferato bene il concetto di insieme di generatori, ora riporto la seguente definizione di insieme di generatori:
Definizione :
Si dice che \(\displaystyle v_1,...,v_n \) generano \(\displaystyle H \) se \(\displaystyle H \) è un sottospazio di \(\displaystyle X \) generato da \(\displaystyle v_1,...,v_n \) : \(\displaystyle H=Span(v_1,...,v_n) \).
Quindi se ho capito bene, i canditati in gioco sono :
\(\displaystyle Span(sink_1x,....,sink_2x) \)
\(\displaystyle H=V \).
Un vettore di \(\displaystyle V \) è \(\displaystyle f(x)=h\) con \(\displaystyle h\in \mathbb{R} \).
Prendendo \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \); \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \);
1) \(\displaystyle f(x)=\alpha_1sink_1x+\alpha_2sink_2x+....+\alpha_nsink_nx=h \),
se fosse vera la 1) con le condizioni suddette, l'insieme \(\displaystyle A \) è un insieme di generatori per \(\displaystyle V \).
se mi fisso la \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{2} \) e sia \(\displaystyle f(x)=\tfrac{\pi}{2} \), prendendo la 1) , si ha :
\(\displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\alpha_1sin\tfrac{\pi}{2}+\alpha_2sin\pi+\alpha_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\alpha_4sin2\pi+= \tfrac{\pi}{2} \).
Quindi è falsa la 1 \(\displaystyle \forall \alpha_i \in \mathbb{R} , i\in \mathbb{N} \).
Ciao
Grazie per la risposta.
"dissonance":
Usi a sproposito l'aggettivo "seguente", che significa "che segue". Non ha senso usarlo se dopo non c'è niente. A causa di ciò diventa più difficile capire il tuo post.
hai ragione e mi scuso.
Il mio problema principale e come strutturare gli esercizi di questo tipo, o meglio non ho afferato bene il concetto di insieme di generatori, ora riporto la seguente definizione di insieme di generatori:
Definizione :
Si dice che \(\displaystyle v_1,...,v_n \) generano \(\displaystyle H \) se \(\displaystyle H \) è un sottospazio di \(\displaystyle X \) generato da \(\displaystyle v_1,...,v_n \) : \(\displaystyle H=Span(v_1,...,v_n) \).
Quindi se ho capito bene, i canditati in gioco sono :
\(\displaystyle Span(sink_1x,....,sink_2x) \)
\(\displaystyle H=V \).
Un vettore di \(\displaystyle V \) è \(\displaystyle f(x)=h\) con \(\displaystyle h\in \mathbb{R} \).
Prendendo \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \); \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \);
1) \(\displaystyle f(x)=\alpha_1sink_1x+\alpha_2sink_2x+....+\alpha_nsink_nx=h \),
se fosse vera la 1) con le condizioni suddette, l'insieme \(\displaystyle A \) è un insieme di generatori per \(\displaystyle V \).
se mi fisso la \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{2} \) e sia \(\displaystyle f(x)=\tfrac{\pi}{2} \), prendendo la 1) , si ha :
\(\displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\alpha_1sin\tfrac{\pi}{2}+\alpha_2sin\pi+\alpha_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\alpha_4sin2\pi+= \tfrac{\pi}{2} \).
Quindi è falsa la 1 \(\displaystyle \forall \alpha_i \in \mathbb{R} , i\in \mathbb{N} \).
Ciao
Cos'è sto casino?
Una funzione $f :RR \to RR$ sta nel sottospazio generato da \(\{\sin kx \mid k\in \mathbb Z\}\) se e solo se è una combinazione lineare finita del tipo $\sin k_1 x + ... + \sin k_n x$. In quel finita c'è il trucco, perché (ad esempio) tutte le funzioni di questo tipo sono limitate e periodiche. Prendi $f$ che non lo sia, e non c'è speranza di ottenerla come combinazione lineare delle $\sin kx$.
"galles90":
Il mio problema principale e come strutturare gli esercizi di questo tipo
Una funzione $f :RR \to RR$ sta nel sottospazio generato da \(\{\sin kx \mid k\in \mathbb Z\}\) se e solo se è una combinazione lineare finita del tipo $\sin k_1 x + ... + \sin k_n x$. In quel finita c'è il trucco, perché (ad esempio) tutte le funzioni di questo tipo sono limitate e periodiche. Prendi $f$ che non lo sia, e non c'è speranza di ottenerla come combinazione lineare delle $\sin kx$.
Ciao,
quando ho preso la funzione \(\displaystyle f \), ho preso come funzione, la funzione identità, cioè \(\displaystyle f(x)=x \). Questa la posso scegliere ?
quando ho preso la funzione \(\displaystyle f \), ho preso come funzione, la funzione identità, cioè \(\displaystyle f(x)=x \). Questa la posso scegliere ?
Sì, ma se la chiami bisettrice invece che "funzione identità" davanti a me, ti do una testata che te la ricordi per sempre.
"killing_buddha":
Sì, ma se la chiami bisettrice invece che "funzione identità" davanti a me, ti do una testata che te la ricordi per sempre.
ahahaha
ho corretto. Dovrei far vedere:
\( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\alpha_1sin\tfrac{\pi}{2}+\alpha_2sin\pi+\alpha_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\alpha_4sin2\pi= \tfrac{\pi}{2} \).
la precedente relazione, è falsa. Quindi l'insieme A non è un sistema di generatori per V.
Perché solo 4 addendi? Devi confutare quella uguaglianza per ogni combinazione lineare finita, di qualsiasi lunghezza.
Si,
1) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\alpha_1sin\tfrac{\pi}{2}+\alpha_2sin\pi+\alpha_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\alpha_4sin2\pi\ne \tfrac{\pi}{2} \).
2) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\beta_1sin\tfrac{\pi}{2}+\beta_2sin\pi+\beta_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\beta_4sin2\pi+\beta_5sin\tfrac{5\pi}{2}\ne \tfrac{\pi}{2} \).
\(\displaystyle . \)
\(\displaystyle . \)
\(\displaystyle . \)
k) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\gamma_1sin\tfrac{\pi}{2}+\gamma_2sin\pi+...+\gamma_ksin\tfrac{k\pi}{2}\ne \tfrac{\pi}{2} \).
Con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).
Comunque grazie per l'aiuto.
1) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\alpha_1sin\tfrac{\pi}{2}+\alpha_2sin\pi+\alpha_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\alpha_4sin2\pi\ne \tfrac{\pi}{2} \).
2) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\beta_1sin\tfrac{\pi}{2}+\beta_2sin\pi+\beta_3sin\tfrac{3\pi}{2}+\beta_4sin2\pi+\beta_5sin\tfrac{5\pi}{2}\ne \tfrac{\pi}{2} \).
\(\displaystyle . \)
\(\displaystyle . \)
\(\displaystyle . \)
k) \( \displaystyle f(\tfrac{\pi}{2})=\gamma_1sin\tfrac{\pi}{2}+\gamma_2sin\pi+...+\gamma_ksin\tfrac{k\pi}{2}\ne \tfrac{\pi}{2} \).
Con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).
Comunque grazie per l'aiuto.
Ma per quale motivo vuoi confutare la cosa in questo modo così verboso?
La funzione \(x\mapsto \sum_{i=1}^n k_i \sin k_i x\) ha periodo $2K\pi$, dove $K = 1/(\prod_{i=1}^n k_i)$; $x\mapsto x$ non è periodica.
La funzione \(x\mapsto \sum_{i=1}^n k_i \sin k_i x\) ha periodo $2K\pi$, dove $K = 1/(\prod_{i=1}^n k_i)$; $x\mapsto x$ non è periodica.
Grazie, sei stato gentilissimo
Ciao
Ciao
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