Esercizio su iniettività e identità
Ciao a tutti....sono nuovo di questo forum e mi sto preparando per un esame di algebra lineare all'università....
siccome lavoro e non seguo le lezioni sto cercando di prepararmi da solo.
Vorrei queindi sottoporvi un esercizio e sapere se il metodo che ho adottato per risolverlo è giusto!
Sia data l'applicazione lineare T: R3-->R3 definita da:
T(e1)= 4e1
T(e2)= e1 + 8e2 + Ke3
T(e3)= e2 + 8e3
Dire per quali valori di K T è INIETTIVA?
_____________________________________________________
Allora prima di tutto ho scritto la matrice associata:
(4 0 0)
(1 8 k)
(0 0 8)
poi ho considerato che che è iniettiva se il determinante è divesro da 0, quindi ho calcolato il determinante e mi è venuto 364, quindi mi risulta iniettiva per ogni k.
Avrei anche potuto considerare che è iniettiva se le righe sono linearmente indipendenti e cosi ho fatto e mi risulta sempre che è initettiva per ogni valore di k.
A questo punto, l'esrcizio mi chiede:
-Posto k=0 determinare un'applicazione lineare Z: R3-->R3 tale che ToZ sia identità di R3.
Ora ho calcolato l'inversa di T e mi è venuta:
( 1/4 0 0 )
(-1/32 1/8 0 )
( 0 0 1/8) =Z
e ho cosi trovato che:
Z * T =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1) = matrice identità di R3
-Infine mi chiede di calcolare il Ker di Z.
Quindi ho ridotto con Gauss la matrice Z:
( 1/4 0 0 )
(-1/32 1/8 0 )
( 0 0 1/8)
e risolvendo il sistema mi risulta : Ker(z)=
(0)
(0)
(0)
Spero di essere stato chiaro nei passaggi.
Ora visto e considerato che la matematia no è il mio forte, vi chiedo: è corretto?..ho fatto i giusti ragionamenti per arrivare alle soluzioni?
Grazie e a presto
siccome lavoro e non seguo le lezioni sto cercando di prepararmi da solo.
Vorrei queindi sottoporvi un esercizio e sapere se il metodo che ho adottato per risolverlo è giusto!
Sia data l'applicazione lineare T: R3-->R3 definita da:
T(e1)= 4e1
T(e2)= e1 + 8e2 + Ke3
T(e3)= e2 + 8e3
Dire per quali valori di K T è INIETTIVA?
_____________________________________________________
Allora prima di tutto ho scritto la matrice associata:
(4 0 0)
(1 8 k)
(0 0 8)
poi ho considerato che che è iniettiva se il determinante è divesro da 0, quindi ho calcolato il determinante e mi è venuto 364, quindi mi risulta iniettiva per ogni k.
Avrei anche potuto considerare che è iniettiva se le righe sono linearmente indipendenti e cosi ho fatto e mi risulta sempre che è initettiva per ogni valore di k.
A questo punto, l'esrcizio mi chiede:
-Posto k=0 determinare un'applicazione lineare Z: R3-->R3 tale che ToZ sia identità di R3.
Ora ho calcolato l'inversa di T e mi è venuta:
( 1/4 0 0 )
(-1/32 1/8 0 )
( 0 0 1/8) =Z
e ho cosi trovato che:
Z * T =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1) = matrice identità di R3
-Infine mi chiede di calcolare il Ker di Z.
Quindi ho ridotto con Gauss la matrice Z:
( 1/4 0 0 )
(-1/32 1/8 0 )
( 0 0 1/8)
e risolvendo il sistema mi risulta : Ker(z)=
(0)
(0)
(0)
Spero di essere stato chiaro nei passaggi.
Ora visto e considerato che la matematia no è il mio forte, vi chiedo: è corretto?..ho fatto i giusti ragionamenti per arrivare alle soluzioni?
Grazie e a presto
Risposte
Tutto giusto, ma sul terzo punto potevi farti furbo e risparmiare alcuni calcoli. Tu sai a priori che $Z$ è invertibile, dato che addirittura ne conosci l'inversa. Ma come è fatto il nucleo di una applicazione lineare invertibile (è sufficiente che sia ingettiva)?
Grazie per il chiarimento!
Scusate, ma la matrice associata non è
$M=((4,0,0),(1,8,K),(0,1,8))$ ?
Perché mi sa che cambia qualcosina....
$M=((4,0,0),(1,8,K),(0,1,8))$ ?
Perché mi sa che cambia qualcosina....
"ciampax":
Scusate, ma la matrice associata non è $M=((4,0,0),(1,8,K),(0,1,2))$ ? Perché mi sa che cambia qualcosina....
A me sembra che la matrice associata sia $M=((4,0,0),(1,8,K),(0,1,8))$ e concordo con te con il fatto che le cose siano un po' diverse.
Opps, ho scritto un 2 per un 8... sorry!
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