Esercizio su endomorfismo
Ho cercato di svolgere questo problema, ecco la traccia:
Sia $f$ il seguente endomorfismo in $R^3$ : $f(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z)$
i) si determini la dimensione e una base di $ker f$ e $Im f$
ii) si determino autovalori ed autospazi di $f$ e si dica $f$ è diagonalizzabile.
svolgimento mio:
i) per il teorema della dimensione di una applicazione lineare vale la relazione:
$dim Ker f + dim Im f = n$
dato che se associo la matrice a quella applicazione lineare $n=3$
ovvero:
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
$Dim Im + dim ker f = 3$
prendo un minore $((1,1),(1,1))$ vedo che il $det = 0$ (qualunque matrice di ordine 2, ha $det = 0$)
il determinante della matrice di ordine $3$ è $0$ perchè 2 linee sono proporzionali fra loro.
il $dim Im = rang A = 1$
di conseguenza $dim ker f = 2$ [non è automorfismo]
per trovare una base di $dim ker f$:
$x+y+z=0$
la soluzione è del tipo: $(-y-z, y, z)$
una possibile Base del ker f è = $((-2,1,1),(-1,0,1))$
mentre per la base dell $Imf$ so che è formata dai vettori colonna che intersecano il minore fondamentale.
Base $Im f = (1,1,1)$
iii) determino gli autovalori, cercando anche di fare delle considerazioni sulla matrice.
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
*è simmetrica.
*non è invertibile.
*ha il $det = 0$ sicuramente ha un autovalore $t = 0$ con molteplicità algebrica almeno 1. Ora cerco gli altri autovalori. [sperando di non sbagliare i calcoli]
$((1-t,1,1),(1,1-t,1),(1,1,1-t))$
polinomio caratteristico:
$(1-t)^3 + 2 t - 1=0$
$1 - t^3 -3*t + 3*t^2 + 2*t -1=0$
$t^3 -3*t^2 +t=0$
$t*(t^2 -2*t + 1)=0$
$t=0$
$t=1$ con molteplicità algebrica $2$
l'autospazio per $t=0$ risolvo con il sistema che si riduce a:
$x+y+z=0$
una base per l'autospazio relativo a $t=0$ è $(1,-1,0)$
l'autospazio per $t=1$ è:
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
da cui il sistema
$y+z=0$
$x+z=0$
$x+y=0$
non riesco a capire come far uscire l'autospazio, percaso una forma generale dell'autospazio è:
$-z(1,1,0)$ ?
Per il resto dell'esercizio ho un bel pò di dubbi, il primo che vi chiedo è:
1) affinchè la matrice sia diagonalizzabile, [nel mio caso lo è per forza perchè per il teorema spettrale ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile e questa è una matrice simmetrica], bisogna vedere anche le molteplicità algebrica e geometriche se coincidono? o che la somma delle molteplicità algebriche COINCIDONO cone la somma delle molteplicità geometriche?
perchè a quanto ne so io, la matrice $D$ è del tipo
$((t_1,0,0),(0,t_2,0),(0,0,t_3))$
cioè con gli autovalori sulla diagonale principale.
2) dal momento che le somme sugli elementi delle colonne sono costanti $k=3$ esso è un autovalore della matrice trasposta e che $(1,1,1)$ è autovettore della matrice trasposta? [è un trucchetto che lessi tempo fa su un thread dove mi risposte fraced, non so se è applicabile ad ogni situazione!]
Sia $f$ il seguente endomorfismo in $R^3$ : $f(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z)$
i) si determini la dimensione e una base di $ker f$ e $Im f$
ii) si determino autovalori ed autospazi di $f$ e si dica $f$ è diagonalizzabile.
svolgimento mio:
i) per il teorema della dimensione di una applicazione lineare vale la relazione:
$dim Ker f + dim Im f = n$
dato che se associo la matrice a quella applicazione lineare $n=3$
ovvero:
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
$Dim Im + dim ker f = 3$
prendo un minore $((1,1),(1,1))$ vedo che il $det = 0$ (qualunque matrice di ordine 2, ha $det = 0$)
il determinante della matrice di ordine $3$ è $0$ perchè 2 linee sono proporzionali fra loro.
il $dim Im = rang A = 1$
di conseguenza $dim ker f = 2$ [non è automorfismo]
per trovare una base di $dim ker f$:
$x+y+z=0$
la soluzione è del tipo: $(-y-z, y, z)$
una possibile Base del ker f è = $((-2,1,1),(-1,0,1))$
mentre per la base dell $Imf$ so che è formata dai vettori colonna che intersecano il minore fondamentale.
Base $Im f = (1,1,1)$
iii) determino gli autovalori, cercando anche di fare delle considerazioni sulla matrice.
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
*è simmetrica.
*non è invertibile.
*ha il $det = 0$ sicuramente ha un autovalore $t = 0$ con molteplicità algebrica almeno 1. Ora cerco gli altri autovalori. [sperando di non sbagliare i calcoli]
$((1-t,1,1),(1,1-t,1),(1,1,1-t))$
polinomio caratteristico:
$(1-t)^3 + 2 t - 1=0$
$1 - t^3 -3*t + 3*t^2 + 2*t -1=0$
$t^3 -3*t^2 +t=0$
$t*(t^2 -2*t + 1)=0$
$t=0$
$t=1$ con molteplicità algebrica $2$
l'autospazio per $t=0$ risolvo con il sistema che si riduce a:
$x+y+z=0$
una base per l'autospazio relativo a $t=0$ è $(1,-1,0)$
l'autospazio per $t=1$ è:
$((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
da cui il sistema
$y+z=0$
$x+z=0$
$x+y=0$
non riesco a capire come far uscire l'autospazio, percaso una forma generale dell'autospazio è:
$-z(1,1,0)$ ?
Per il resto dell'esercizio ho un bel pò di dubbi, il primo che vi chiedo è:
1) affinchè la matrice sia diagonalizzabile, [nel mio caso lo è per forza perchè per il teorema spettrale ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile e questa è una matrice simmetrica], bisogna vedere anche le molteplicità algebrica e geometriche se coincidono? o che la somma delle molteplicità algebriche COINCIDONO cone la somma delle molteplicità geometriche?
perchè a quanto ne so io, la matrice $D$ è del tipo
$((t_1,0,0),(0,t_2,0),(0,0,t_3))$
cioè con gli autovalori sulla diagonale principale.
2) dal momento che le somme sugli elementi delle colonne sono costanti $k=3$ esso è un autovalore della matrice trasposta e che $(1,1,1)$ è autovettore della matrice trasposta? [è un trucchetto che lessi tempo fa su un thread dove mi risposte fraced, non so se è applicabile ad ogni situazione!]
Risposte
Ehm, perdonami ma ho una leggerissima difficoltà nel leggere l'ultima parte di messaggio
Scusami tu! E' che ho difficoltà a rivedere in anteprima i miei messaggi, dal momento che è come se il LaTex non fosse disponibile su IE9, RIMEDIO SUBITO! 
[controllato, spero che ora è tutto a posto, grazie di avermi avvertito!]
[controllato, spero che ora è tutto a posto, grazie di avermi avvertito!]
Ok, così va meglio 
Direi che il punto i) va bene, mentre nel punto ii) non mi trovo con il polinomio caratteristico: a me viene $t^2(3-t)$
Direi che il punto i) va bene, mentre nel punto ii) non mi trovo con il polinomio caratteristico: a me viene $t^2(3-t)$
Dovevo aspettarmelo l'autovalore $t=3$ dal momento che conoscevo un trucchetto, se cosi si può chiamare, di trovare gli autovalori come la somma degli autovalori = traccia
$t_1 + t_2 + t_3 = 3$
abbiamo detto che sicuramente l'autovalore nullo c'è
$0 + t_2 + t_3 = 3$
però la cosa su cui non riesco a dedurre a 'priori' è proprio la molteplicità algebrica.
[in attesa che io posti nuovamente il mio calcolo per autovalori e autospazi] vorrei sapere una cosa che mi domando spesso [nonchè domande frequenti in sede d'orale]
ho in questo caso la matrice
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
se mi viene chiesto se è iniettiva, suriettiva o isomorfismo, posso raggionare con la determinazione della dim del ker e dell Im?
$t_1 + t_2 + t_3 = 3$
abbiamo detto che sicuramente l'autovalore nullo c'è
$0 + t_2 + t_3 = 3$
però la cosa su cui non riesco a dedurre a 'priori' è proprio la molteplicità algebrica.
[in attesa che io posti nuovamente il mio calcolo per autovalori e autospazi] vorrei sapere una cosa che mi domando spesso [nonchè domande frequenti in sede d'orale]
ho in questo caso la matrice
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
se mi viene chiesto se è iniettiva, suriettiva o isomorfismo, posso raggionare con la determinazione della dim del ker e dell Im?
"clever":
se mi viene chiesto se è iniettiva, suriettiva o isomorfismo, posso raggionare con la determinazione della dim del ker e dell Im?
Certo.
"clever":il polinomio caratteristico è $p(t)=t^2(3-t)$ quindi $t_1$ ha molteplicità algebrica $2$
però la cosa su cui non riesco a dedurre a 'priori' è proprio la molteplicità algebrica.
"clever":Certo.
ho in questo caso la matrice
$((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$
se mi viene chiesto se è iniettiva, suriettiva o isomorfismo, posso ragionare con la determinazione della dim del $ker$ e dell'$Im$?
Ho rifatto i calcoli e mi trovo con quello che dici tu, quindi per la molteplicità algebrica non c'è nulla da fare devo per forza fare il polinomio caratteristico..
per gli autospazi ottengo:
per l'autovalore $t=3$, il sistema è:
$-2*x +y+z=0$
$x-2*y +z=0$
$x+y-2*z=0$
la soluzione è del tipo: $y =2*x -z$
dato che è $oo^2$ e sono 2 le variabile libere, posso scriverlo cosi:
$(x,2x - z, z)$
quindi:
$x(1,2,0)+z*(0,-1,1)$
e ne scelgo a variare di $x$ e $z$ una base con i vettori $(0,0,0)$ e $(1,1,1)$
ora alla domanda tipo:
1) $f$ è un isomorfismo? è iniettiva? è suriettiva?
per essere isomorfismo, la matrice associata ad $f$ dovrebbe essere invertibile. Ma invertibile non è, quindi non è isomorfismo.
ricordando che $dim ker f = 2$ non è iniettiva, [per essere iniettiva deve essere dim ker f =0]
dato che iniettività ---> suriettività, non è nemmeno suriettiva, la $dim Im f$ non è massima.
spero sia giusto dire così! aspetto conferme
per gli autospazi ottengo:
per l'autovalore $t=3$, il sistema è:
$-2*x +y+z=0$
$x-2*y +z=0$
$x+y-2*z=0$
la soluzione è del tipo: $y =2*x -z$
dato che è $oo^2$ e sono 2 le variabile libere, posso scriverlo cosi:
$(x,2x - z, z)$
quindi:
$x(1,2,0)+z*(0,-1,1)$
e ne scelgo a variare di $x$ e $z$ una base con i vettori $(0,0,0)$ e $(1,1,1)$
ora alla domanda tipo:
1) $f$ è un isomorfismo? è iniettiva? è suriettiva?
per essere isomorfismo, la matrice associata ad $f$ dovrebbe essere invertibile. Ma invertibile non è, quindi non è isomorfismo.
ricordando che $dim ker f = 2$ non è iniettiva, [per essere iniettiva deve essere dim ker f =0]
dato che iniettività ---> suriettività, non è nemmeno suriettiva, la $dim Im f$ non è massima.
spero sia giusto dire così! aspetto conferme
"clever":No. La matrice associata ha rango $2$, quindi puoi estrarre una sottomatrice di ordine due che ha determinante non nullo.
per l'autovalore $t=3$, il sistema è:
${(-2*x +y+z=0),(x-2*y +z=0),(x+y-2*z=0):}$
la soluzione è del tipo: $y =2x -z$
Dunque devi considerare due di quelle equazioni, non una sola
uso le prime due.
da cui viene che:
$x=2y - z$
$y=2x -z$
da cui ottengo: $x=2z/3$ e $y=-z/3$
soluzione del tipo:
$z*(2/3 , - 1/3 ,1)$
ne prendo 2
$(2/3 , - 1/3 ,1),(4/3, -2/3, 2)$
va bene?
a questo punto posso dire che è diagonalizzabile e scrivere la matrice $D$, anch'essa simmetrica:
$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,3))$
da cui viene che:
$x=2y - z$
$y=2x -z$
da cui ottengo: $x=2z/3$ e $y=-z/3$
soluzione del tipo:
$z*(2/3 , - 1/3 ,1)$
ne prendo 2
$(2/3 , - 1/3 ,1),(4/3, -2/3, 2)$
va bene?
a questo punto posso dire che è diagonalizzabile e scrivere la matrice $D$, anch'essa simmetrica:
$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,3))$
"clever":ok
soluzione del tipo:
$z*(2/3 , - 1/3 ,1)$
"clever":No. L'autospazio relativo all'autovalore $3$ ha dimensione $1$, non $2$.
ne prendo 2
$(2/3 , - 1/3 ,1),(4/3, -2/3, 2)$ va bene?
Infatti quei due vettori che hai scritto non vanno bene per formare una base (sono lin. dipendenti).
Devi prenderne solo 1: $(2/3,-1/3,1)$. Stop
E' l'autospazio relativo all'autovalore $0$ che ha dimensione $2$.
"clever":Questo è corretto: infatti hai scritto due volte $0$ e una volta $3$
a questo punto posso dire che è diagonalizzabile e scrivere la matrice $D$, anch'essa simmetrica:
$((0,0,0),(0,0,0),(0,0,3))$
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