Esercizio su compattificazione di Alexandroff
Buongiorno. Ho provato a svolgere questo esercizio di topologia, ma come al solito ho qualche dubbio.
Devo trovare un esempio di due spazi topologici non omeomorfi $ X $ e $ Y $ tale che $ X^×$ e $ Y^×$ non siano omeomorfi, dove con $ X^ ×$ e $ Y^ ×$ indichiamo la compattificazione di Alexandroff.
Ho posto $ X =NN $ e $ Y=[0,1 ] $ e ho spiegato che i due non sono omeomorfi perché $ NN $ non è connesso perché ogni punto è isolato e $ [ 0,1 ] $ invece è connesso con la topologia euclidea. Passando alla compattificazione ho posto $ NN^×= NN uu { oo}$ e $ Y^ ×= [ 0,1 ] uu {oo} $ e ho spiegato che entrambi sono compatti ma non connessi (perché $ NN $ è sconnesso e $ Y^ ×$ è unione di insiemi disgiunti) . Secondo voi potrebbe andare bene?
Devo trovare un esempio di due spazi topologici non omeomorfi $ X $ e $ Y $ tale che $ X^×$ e $ Y^×$ non siano omeomorfi, dove con $ X^ ×$ e $ Y^ ×$ indichiamo la compattificazione di Alexandroff.
Ho posto $ X =NN $ e $ Y=[0,1 ] $ e ho spiegato che i due non sono omeomorfi perché $ NN $ non è connesso perché ogni punto è isolato e $ [ 0,1 ] $ invece è connesso con la topologia euclidea. Passando alla compattificazione ho posto $ NN^×= NN uu { oo}$ e $ Y^ ×= [ 0,1 ] uu {oo} $ e ho spiegato che entrambi sono compatti ma non connessi (perché $ NN $ è sconnesso e $ Y^ ×$ è unione di insiemi disgiunti) . Secondo voi potrebbe andare bene?
Risposte
Era la stessa cosa che intendevo io col mio suggerimento qualche post fa 
Ok, grazie @dan95 penso che questo sia perfetto
@otta96 grazie anche a te, ora mi è più chiaro, forse dovevo fare più prove per capirci qualcosa
@otta96 grazie anche a te, ora mi è più chiaro, forse dovevo fare più prove per capirci qualcosa
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