Esercizio su compattificazione di Alexandroff
Buongiorno. Ho provato a svolgere questo esercizio di topologia, ma come al solito ho qualche dubbio.
Devo trovare un esempio di due spazi topologici non omeomorfi $ X $ e $ Y $ tale che $ X^×$ e $ Y^×$ non siano omeomorfi, dove con $ X^ ×$ e $ Y^ ×$ indichiamo la compattificazione di Alexandroff.
Ho posto $ X =NN $ e $ Y=[0,1 ] $ e ho spiegato che i due non sono omeomorfi perché $ NN $ non è connesso perché ogni punto è isolato e $ [ 0,1 ] $ invece è connesso con la topologia euclidea. Passando alla compattificazione ho posto $ NN^×= NN uu { oo}$ e $ Y^ ×= [ 0,1 ] uu {oo} $ e ho spiegato che entrambi sono compatti ma non connessi (perché $ NN $ è sconnesso e $ Y^ ×$ è unione di insiemi disgiunti) . Secondo voi potrebbe andare bene?
Devo trovare un esempio di due spazi topologici non omeomorfi $ X $ e $ Y $ tale che $ X^×$ e $ Y^×$ non siano omeomorfi, dove con $ X^ ×$ e $ Y^ ×$ indichiamo la compattificazione di Alexandroff.
Ho posto $ X =NN $ e $ Y=[0,1 ] $ e ho spiegato che i due non sono omeomorfi perché $ NN $ non è connesso perché ogni punto è isolato e $ [ 0,1 ] $ invece è connesso con la topologia euclidea. Passando alla compattificazione ho posto $ NN^×= NN uu { oo}$ e $ Y^ ×= [ 0,1 ] uu {oo} $ e ho spiegato che entrambi sono compatti ma non connessi (perché $ NN $ è sconnesso e $ Y^ ×$ è unione di insiemi disgiunti) . Secondo voi potrebbe andare bene?
Risposte
Ma mica hai dimostrato che \(X^\times\) e \(Y^\times\) non sono omeomorfi, se dici che entrambi non sono connessi.
Hai ragione, scusa, ho scritto male la traccia, $ X ^ × $ e $ Y ^ ×$ devono essere omeomorfi, mentre $ X $ e $ Y $ devono essere non omeomorfi
Non sono nemmeno della stessa cardinalità nell'esempio che hai fatto te, prova a prendere $[0,1]\{1/2}$ come uno spazio, l'altro prova a trovarlo tu..... Suggerimento: cercalo connesso.
@sira: Sei sicura di avere capito cosa significa "omeomorfismo"? Mi permetto di suggerirti di rivedere la definizione e qualche esempio. Due spazi entrambi compatti e non connessi non sono mica per forza omeomorfi, come dice dan. Pure lo spazio contenente un punto solo e quello contenente due punti distinti sono un esempio di spazi compatti e non connessi. Ma certamente non sono omeomorfi.
Uno spazio con un solo punto è connesso in realtà...
Sì, hai ragione, non ho pensato alla definizione standard di omeomorfismo, cioè $ X \rightarrow Y $ deve essere bicontinua e biunivoca. A volte, avendo difficoltà a trovare una funzione di questo tipo penso direttamente alle proprietà di due spazi topologici 
e combino grossi guai
comunque, scusa se ci riprovo con un altro esempio.
Se sostituisco $ Y ^ × $ di prima con $ Y ^ × ={1/n| n in NN} uu { oo } $ potrebbe andare bene?
Scusa se ho scritto stupidaggini, sono una frana in queste cose...
e combino grossi guaicomunque, scusa se ci riprovo con un altro esempio.
Se sostituisco $ Y ^ × $ di prima con $ Y ^ × ={1/n| n in NN} uu { oo } $ potrebbe andare bene?
Scusa se ho scritto stupidaggini, sono una frana in queste cose...
@otta96: 
ops, hai ragione, mannaggia
allora l'esempio è: uno spazio con DUE punti e uno spazio con tre punti sono compatti, non connessi e non omeomorfi.
@sira: va bene ragionare come fai, ricordati solo che connessione e compattezza sono solo due delle tante proprietà topologiche.
Il nuovo esempio ha lo stesso problema del primo, ed è sbagliato.
ops, hai ragione, mannaggia allora l'esempio è: uno spazio con DUE punti e uno spazio con tre punti sono compatti, non connessi e non omeomorfi.
@sira: va bene ragionare come fai, ricordati solo che connessione e compattezza sono solo due delle tante proprietà topologiche.
Il nuovo esempio ha lo stesso problema del primo, ed è sbagliato.
"dissonance":
[...]come dice dan.[...]
Io dico anche quando non dico.
@Sira
Prova $X=(0,1)$ e $Y=[0,1)$
Prova $X=(0,1)$ e $Y=[0,1)$
Prendi uno spazio e la sua compattificazione di Alexandroff.
"dan95":
@Sira
Prova $X=(0,1)$ e $Y=[0,1)$
Non funziona.
Sorry ho letto la prima versione della traccia
Il problema (ci ho pensato tutta la serata e ancora non ho trovato una coppia che vada bene) è che $ X $ e $ Y $ devono essere non omeomorfi e non compatti altrimenti non serve la compattificazione. Quindi avevo pensato di porre $ X = [ 0,1 )$ e $ Y =( 1,2) uu { 3} $ che non sono omeomorfi, ma passando alla compattificazione non so se funziona
Non ne sono sicuro, ma ci provo!
Considera la cubica annodata \(\displaystyle y^2=x^3+x^2\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) e l'insieme \(\displaystyle]0,1[\cup]2,3[\) con le rispettive topologie naturali;
non sono omeomorfi e le loro compattificazioni di Alexandrov sono l'insieme "a \(\displaystyle8\)" con la topologia naturale.
Lascio i dettagli da dimostrare a chi vuole controllarli...
EDIT Corretto un segno!
Considera la cubica annodata \(\displaystyle y^2=x^3+x^2\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) e l'insieme \(\displaystyle]0,1[\cup]2,3[\) con le rispettive topologie naturali;
non sono omeomorfi e le loro compattificazioni di Alexandrov sono l'insieme "a \(\displaystyle8\)" con la topologia naturale.
Lascio i dettagli da dimostrare a chi vuole controllarli...
EDIT Corretto un segno!
Togli al disco chiuso un punto del bordo; togli al disco chiuso un punto dell'interno.
Per @j18eos ho provato a svolgere l'esercizio con i tuoi esempi. Come hai detto tu $X$ e $Y$ non sono omeomorfi perchè il primo è connesso e il secondo è unione disgiunta di due aperti, quindi è sconnesso ed entrambi sono non compatti come richiesto dalla definizione. Passando alla compattificazione gli insiemi $A=X-K uu {oo}$, dove $K$ è compatto, è aperto. Ad esempio ho preso $A=RR^2-[-oo,0]uu {oo}$ come aperto di $X$ e $B=]0,1[uu]2,3[ -[1/10,1/2]uu {oo}$ come aperto di $Y$. Però, a questo punto, non riesco a trovare l'omeomorfismo tra i due
Per @killing_buddha ho iniziato a provare a fare l'esercizio con i tuoi esempi, ma non mi convincono del tutto gli insiemi iniziali
. Proverò a rivederli di nuovo
Per @killing_buddha ho iniziato a provare a fare l'esercizio con i tuoi esempi, ma non mi convincono del tutto gli insiemi iniziali
. Proverò a rivederli di nuovo
Ti ho dato due risposte possibili:
- La prima usa una caratterizzazione intrinseca della compattificazione ad un punto di uno spazio, ossia il fatto che $\overline X$ è unicamente determinato, a meno di omeomorfismo, dalla proprietà che se $Y$ è uno spazio compatto, allora ogni mappa $X \to Y$ si estende in maniera unica a una mappa $\overline X \to Y$: in altre parole esiste la biiezione
\[
{\bf CHaus}(X, Y) \cong {\bf CHaus}(\overline X,Y)
\] (per comodità faccio tutto negli spazi T2) Questo ti permette di dimostrare che (dato che $\overline X$ è compatto e contiene una copia densa di $X$), all'inclusione \(X \hookrightarrow \overline X\) di questa copia densa deve corrispondere per forza l'identità di $\overline X \to \overline X$. Da questo, puoi divertirti a dimostrare che la compattificazione è un'operazione idempotente: la compattificazione della compattificazione di $X$ è omeomorfa alla compattificazione di $X$. Questo implica che $\overline X$ è la compattificazione ad un punto sia di $X$ che di $\overline X$, e allora (ad esempio, siccome la compattificazione di $RR$ è $\mathbb S^1$) $RR$ ed $\mathbb S^1$ sono un esempio di spazi che cerchi.
Un'altra risposta possibile, più concreta, è la seconda che ti ho dato.
- La prima usa una caratterizzazione intrinseca della compattificazione ad un punto di uno spazio, ossia il fatto che $\overline X$ è unicamente determinato, a meno di omeomorfismo, dalla proprietà che se $Y$ è uno spazio compatto, allora ogni mappa $X \to Y$ si estende in maniera unica a una mappa $\overline X \to Y$: in altre parole esiste la biiezione
\[
{\bf CHaus}(X, Y) \cong {\bf CHaus}(\overline X,Y)
\] (per comodità faccio tutto negli spazi T2) Questo ti permette di dimostrare che (dato che $\overline X$ è compatto e contiene una copia densa di $X$), all'inclusione \(X \hookrightarrow \overline X\) di questa copia densa deve corrispondere per forza l'identità di $\overline X \to \overline X$. Da questo, puoi divertirti a dimostrare che la compattificazione è un'operazione idempotente: la compattificazione della compattificazione di $X$ è omeomorfa alla compattificazione di $X$. Questo implica che $\overline X$ è la compattificazione ad un punto sia di $X$ che di $\overline X$, e allora (ad esempio, siccome la compattificazione di $RR$ è $\mathbb S^1$) $RR$ ed $\mathbb S^1$ sono un esempio di spazi che cerchi.
Un'altra risposta possibile, più concreta, è la seconda che ti ho dato.
Ecco, la cosa che non mi tornava è proprio questa: $ Y $ non può essere compatto per definizione (oltre che non omeomorfo a $ X $)
Infatti questa è la seconda risposta. Prendi un disco e togli un punto all'interno; prendi un disco e togli un punto al bordo.
$X=[0,1) uu (1,2]$ e $Y=[0,2)$
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