Esercizio su applicazioni lineari
Ho il seguente esercizio:
Dopo aver determinato l'applicazione lineare $L:R^2->R^3$ tale che
$L(2,1)=(3,0,1)$
$L(0,3)=(0,1,0)$
stabilire se è iniettiva.
Io ho ragionato così ma quasi sicuramente sbagliando:
innanzitutto guardando i due vettori $(2,1)$ $(0,3)$ ed essendo linearmente indipendenti,quindi due vettori linearmente indipendenti di uno spazio 2-dimensionale,costituiscono una base per esso,e considerando poi la base canonica di $R^3$
potrei dire che (piccola osservazione,forse anche inutile):
$L(2,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(3,0,1)$ da cui $a=3$ $b=0$ $c=1$
ecc ecc anche per la seconda parte
potrei quindi dire che:
$ImL=<(3,0,1),(0,1,0)>$
poichè i due vettori sono linearmente indipendenti ed anche costituenti un sistema di generatori essi costiruiscono una base per $ImL$
dunque $dim ImL=2$
per la formula di Grassmann:
$dim V=dim R^2=2=dim ImL+dim KerL$ da cui essendo $ImL$ 2-dimensionale
$dim KerL=2-2=0$ quindi $KerL={bar(0)}$
concludo affermando che $L$ è iniettiva.
Cosa e dove ho sbagliato?Come determino $L(x,y)$?
guardando le immagini mi verrebe da dire che $L(x,y)=(3x,y,x)$ ma così facendo i risultati non tornano...dunque come bisognerebbe procedere?
Dopo aver determinato l'applicazione lineare $L:R^2->R^3$ tale che
$L(2,1)=(3,0,1)$
$L(0,3)=(0,1,0)$
stabilire se è iniettiva.
Io ho ragionato così ma quasi sicuramente sbagliando:
innanzitutto guardando i due vettori $(2,1)$ $(0,3)$ ed essendo linearmente indipendenti,quindi due vettori linearmente indipendenti di uno spazio 2-dimensionale,costituiscono una base per esso,e considerando poi la base canonica di $R^3$
potrei dire che (piccola osservazione,forse anche inutile):
$L(2,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(3,0,1)$ da cui $a=3$ $b=0$ $c=1$
ecc ecc anche per la seconda parte
potrei quindi dire che:
$ImL=<(3,0,1),(0,1,0)>$
poichè i due vettori sono linearmente indipendenti ed anche costituenti un sistema di generatori essi costiruiscono una base per $ImL$
dunque $dim ImL=2$
per la formula di Grassmann:
$dim V=dim R^2=2=dim ImL+dim KerL$ da cui essendo $ImL$ 2-dimensionale
$dim KerL=2-2=0$ quindi $KerL={bar(0)}$
concludo affermando che $L$ è iniettiva.
Cosa e dove ho sbagliato?Come determino $L(x,y)$?
guardando le immagini mi verrebe da dire che $L(x,y)=(3x,y,x)$ ma così facendo i risultati non tornano...dunque come bisognerebbe procedere?
Risposte
nessuno sa rispondere?
Ti perdono per l'up fatto prima di 24 ore (regolamento 3.4)
Non rifarlo, altrimenti saranno presi provvedimenti
(*) $L(x,y)=xL(1,0)+yL(0,1)$, chiaro, no?
Dunque ti basta capire quanto vale $L(1,0)$ e $L(0,1)$.
Accenno al calcolo di $L(1,0)$:
$(1,0)=a(2,1)+b(0,3)$
Puoi calcolare $a$ e $b$, perché $(2,1),(0,3)$ è una base di $RR^2$. Quindi trovali!
Un volta noti $a$ e $b$, puoi calcolare
$L(0,1)=L(a(2,1)+b(0,3))=aL(2,1)+bL(0,3)$
Poi fai la stessa cosa e trovi $L(0,1)$. E infine sostituisci il tutto in (*).
Buon lavoro!
Non rifarlo, altrimenti saranno presi provvedimenti
"zipangulu":
Cosa e dove ho sbagliato?Come determino $L(x,y)$?
guardando le immagini mi verrebe da dire che $L(x,y)=(3x,y,x)$ ma così facendo i risultati non tornano...dunque come bisognerebbe procedere?
(*) $L(x,y)=xL(1,0)+yL(0,1)$, chiaro, no?
Dunque ti basta capire quanto vale $L(1,0)$ e $L(0,1)$.
Accenno al calcolo di $L(1,0)$:
$(1,0)=a(2,1)+b(0,3)$
Puoi calcolare $a$ e $b$, perché $(2,1),(0,3)$ è una base di $RR^2$. Quindi trovali!
Un volta noti $a$ e $b$, puoi calcolare
$L(0,1)=L(a(2,1)+b(0,3))=aL(2,1)+bL(0,3)$
Poi fai la stessa cosa e trovi $L(0,1)$. E infine sostituisci il tutto in (*).
Buon lavoro!
Ok,grazie!
A meno di calcoli sbagliati mi esce:
$L(x,y)=(3/2x,-1/6x+1/3y,1/2x)$
che è iniettiva essendo $dim ImL=2$ quindi $dim KerL=0$.
A meno di calcoli sbagliati mi esce:
$L(x,y)=(3/2x,-1/6x+1/3y,1/2x)$
che è iniettiva essendo $dim ImL=2$ quindi $dim KerL=0$.
Mi sembra giusto 
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