Esercizio studio sottospazi

[pr0ves]

Salve,
ci sono varie cose che non ho capito di questo esercizio

In $R^4$, considerati i sottospazi
$V = {(x; y; z; t) : y + 3t = 0}$ e $W = {(x; y; z; t) : x - 2z = 0; y + t = 0}$;
i) studiare i sottospazi $V$ , $W$, $V nn W$ e $V +W$ determinandone la dimensione ed una base;
ii) scrivere le equazioni parametriche e cartesiane di $V$ , $W$, $V$ $uu$ $W$ e $V +W$ nel riferimento naturale di R4.

1)Per "studio di sottospazio" si intende trovare la dimensione e una base del sottospazio o c'è altro?
2)Per l'intersezione $V nn W$ ho posto $V nn W ={(x; y; z; t) : y + 3t = x - 2z = y + t = 0}$ e, mettendo a sistema gli argomenti e risolvendo il sistema, mi risulta $x=-2z ; y=0 ; t=0$ da questo si capisce che $dim V nn W = 1$ e che una base di $V nn W$ è $B_(V nn W)=(2,0,1,0)$. Il procedimento è corretto?
3)Per la somma ho fatto l'unione tra le basi, che avevo trovato in precedenza, dei 2 sottospazi e risulta che $dim V + W =4$
4)Per il secondo punto, invece, non so neanche come iniziarlo.

Grazie anticipatamente

[21zuclo]

"pr0ves":

4)Per il secondo punto, invece, non so neanche come iniziarlo.

quello che ti dice

"pr0ves":

In $R^4$, considerati i sottospazi
$V = {(x; y; z; t) : y + 3t = 0}$ e $W = {(x; y; z; t) : x - 2z = 0; y + t = 0}$;
i) studiare i sottospazi $V$ , $W$, $V nn W$ e $V +W$ determinandone la dimensione ed una base;
ii) scrivere le equazioni parametriche e cartesiane di $V$ , $W$, $V$ $uu$ $W$ e $V +W$ nel riferimento naturale di R4.

scrivere le equazioni cartesiane e parametriche dei 2 sottospazi, e poi degli altri sottospazi trovati al punto 1

Prima domanda, sai com'è fatta un'equazione cartesiana e parametrica per esempio di una retta?

poi per determinare la dimensione degli insiemi $V+W, V\cap W$ hai bisogno della formula di Grassman..

inizia da questi punti..se non hai ste cose non puoi affrontare l'esercizio

[pr0ves]

Con Grassman avevo già trovato le dimensioni, infatti $dimV=3 ; dim W = 2; dim V+W=4$ perciò $dim V nn W=1$

Il problema è proprio il fatto che non so l'equazione cartesiana o parametrica; ho provato a cercare sul forum ed ho trovato che l'equazionie cartesiana è data dall'intersezione di due piani, ma questo in $R^3$, non so in $R^4$, mentre per la parametrica per la retta in $R^4$ sarebbe questa
$ r : \{ (x=a_1+v_1u), (y=a_2+v_2u), (z=a_3+v_3u), (t=a_4+v_4u) :} $, $ u \in \mathbb{R} $
ora non so come usare queste equazioni

[21zuclo]

"pr0ves":
mentre per la parametrica per la retta in $R^4$ sarebbe questa
$ r : \{ (x=a_1+v_1u), (y=a_2+v_2u), (z=a_3+v_3u), (t=a_4+v_4u) :} $, $ u \in \mathbb{R} $
ora non so come usare queste equazioni

esattamente quella che hai scritto è l'equazione parametrica in $RR^4$ che sia $RR^3$ oppure $RR^27$ oppure ancora in $RR^58$, non ti interessa avrai solamente più variabili e più numeri!..

qui tu sei in $RR^4$ e il tuo testo prende come vettore generico questo $ \ul(v)=((x),(y),(z), (t)) $

ove prendiamo la prima, nell'insieme $V$ hai $y+3t=0$ significa che $y=-3t$.. tutti gli altri sono parametri liberi!..

ovviamente questa passa per l'origine $ \ul(v)=((0),(0),(0),(0)) $ altrimenti non sarebbe più un sottospazio vettoriale..

[pr0ves]

Scusa ma credo di non aver capito bene, l'equazione parametrica per $V$ quindi è questa $y=−3t$?
per $W$ quindi sarebbe $ \{ (x=2z), (y=-t) :} :z,t \in RR $ ?
Mentre per le equazioni cartesiane?
Mi dispiace di non capire subito, questo è nuovo argomento per me.