Esercizio spazi vettoriali
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 5, e sia {v1,v2,v3,v4,v5} una base di V. Sia V1 il sottospazio generato dai vettori {v1,v2-v1} e V2 sottospazio generato dai vettori {v3,2v4+v3,v5+v3}. Si dimostri che V=V1+V2(+ inteso come somma diretta). Si trovino le basi di V1 e V2.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 5, e sia {v1,v2,v3,v4,v5} una base di V. Sia V1 il sottospazio generato dai vettori {v1,v2-v1} e V2 sottospazio generato dai vettori {v3,2v4+v3,v5+v3}. Si dimostri che V=V1+V2(+ inteso come somma diretta). Si trovino le basi di V1 e V2.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
ma di $v_{1},...,v{_5}$ non sono scritte le componenti?
Per provare che la somma è diretta è necessario dimostrare:
$dim(V_{1}\capV_{2})=0_{v}$
$V_{1}+V_{2}=V$
Per l'intersezione ti basta pensare che, se un vettore, diciamo $w$, appartiene al sottospazio intersezione, ($w\in V_{1}\capV_{2}$), allora può essere espresso sia come combinazione lineare di $V_{1}$ che come combinazione lineare di $V_{2}$...
Per provare che la somma è diretta è necessario dimostrare:
$dim(V_{1}\capV_{2})=0_{v}$
$V_{1}+V_{2}=V$
Per l'intersezione ti basta pensare che, se un vettore, diciamo $w$, appartiene al sottospazio intersezione, ($w\in V_{1}\capV_{2}$), allora può essere espresso sia come combinazione lineare di $V_{1}$ che come combinazione lineare di $V_{2}$...
Le componenti non sono scritte, diciamo che è un esercizio abbastanza teorico. Non credo me ne darà mai uno così all'esame, però volevo evitare dia arrivare impreparato ecco, più so meglio è! Ho delle soluzioni di una mia amica, ma sono sbagliato e la professoressa non ha dato le soluzioni giuste purtroppo!
Dovresti mostrare un tuo tentativo o, perlomeno, un'idea di risoluzione...
un generico vettore dell'intesezione $w$ è combinazione lineare sia di $V_{1}$ che di $V_{2}$ e pertanto:
$ w=av_{1}+b(v_2-v_1) $
$ w=cv_{3}+d(2v_4+v_3)+e(v_5+v_3) $
Possiamo dunque scrivere:
$ av_1+b(v_2-v_1)-cv_{3}-d(2v_4+v_3)-e(v_5+v_3)=0 $ e notiamo che questa è una combinazione lineare di elementi della base V... ma poiché si tratta di una base, allora questi vettori sono linearmente indipendenti, e pertanto l'unico modo per ottenere $0_v$, è che tutti i coefficienti sono nulli, e quindi, l'unico vettore che soddisfa questa relazione è il vettore nullo.
Ovviamente, $V_1+V_2=V$, perché abbiamo la combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti(lo sappiamo per la definizione di base di V) e tale spazio avrà dimensione 5,pari a V, e pertanto la somma è diretta.
$ w=av_{1}+b(v_2-v_1) $
$ w=cv_{3}+d(2v_4+v_3)+e(v_5+v_3) $
Possiamo dunque scrivere:
$ av_1+b(v_2-v_1)-cv_{3}-d(2v_4+v_3)-e(v_5+v_3)=0 $ e notiamo che questa è una combinazione lineare di elementi della base V... ma poiché si tratta di una base, allora questi vettori sono linearmente indipendenti, e pertanto l'unico modo per ottenere $0_v$, è che tutti i coefficienti sono nulli, e quindi, l'unico vettore che soddisfa questa relazione è il vettore nullo.
Ovviamente, $V_1+V_2=V$, perché abbiamo la combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti(lo sappiamo per la definizione di base di V) e tale spazio avrà dimensione 5,pari a V, e pertanto la somma è diretta.
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