Esercizio Sottospazi Vettoriali
Salve
sto ripetendo per l'esame di Algebra
mi ritrovo a risolvere il seguente esercizio
dati i seguenti sottospazi di $R^(4)$
U=L{(1,0,1,0),(1,2,3,4)}
V=L{(0,1,1,1),(0,0,0,1)}
indicare se sono in somma diretta.
la risposta del testo è: la somma non è diretta, il vettore w=(-1,1,2,2) $in$ U $nn$ V
risolvendo l'esercizio trovo che -1,1 e 2,2 sono i coefficenti da assegnare rispettivamente ai 2 vettori di base di U e V per ottenere lo stesso vettore ( (0,2,2,4) ) che quindi apparterrebbe sia ad U che V.
Inoltre com'è possibile che i vettore w appartenga a U $nn$ V se non è neppure combinazione lineare dei due vettori di base di V?
Ringrazio anticipatamente
sto ripetendo per l'esame di Algebra
mi ritrovo a risolvere il seguente esercizio
dati i seguenti sottospazi di $R^(4)$
U=L{(1,0,1,0),(1,2,3,4)}
V=L{(0,1,1,1),(0,0,0,1)}
indicare se sono in somma diretta.
la risposta del testo è: la somma non è diretta, il vettore w=(-1,1,2,2) $in$ U $nn$ V
risolvendo l'esercizio trovo che -1,1 e 2,2 sono i coefficenti da assegnare rispettivamente ai 2 vettori di base di U e V per ottenere lo stesso vettore ( (0,2,2,4) ) che quindi apparterrebbe sia ad U che V.
Inoltre com'è possibile che i vettore w appartenga a U $nn$ V se non è neppure combinazione lineare dei due vettori di base di V?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Sulla soluzione del testo non mi esprimo perché non ho fatto i calcoli, ma \((1,2,3,4) = (1,0,1,0) + 2(0,1,1,1) + 2(0,0,0,1)\) quindi \(U\cap V\) è non vuoto per questioni dimensionali (insomma la formula di Grassman).
Penso che intendesse il vettore visto come elemento del prodotto esterno \(U\oplus V\) con la base definita da quei vettori, anche se mi sembra strana come cosa. Insomma come elemento di \(\ker \pi\) dove \(\pi\colon U\oplus V \cong \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4\) definita come \(\displaystyle u\oplus v \mapsto u-v \).
Penso che intendesse il vettore visto come elemento del prodotto esterno \(U\oplus V\) con la base definita da quei vettori, anche se mi sembra strana come cosa. Insomma come elemento di \(\ker \pi\) dove \(\pi\colon U\oplus V \cong \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4\) definita come \(\displaystyle u\oplus v \mapsto u-v \).
grazie mille!
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