Esercizio: sottoinsieme, sottospazio e base

[n1c0l41]

Salve a tutti, come molti di voi, in questo periodo di esami, sono sempre alla ricerca della soluzione più corretta agli esercizi, cosi, vi propongo questo... Ho problemi a stabilire la relazione di esistenza del sottospazio: come va risolto? Pensavo di fare le normale operazioni per stabilre l'esistenza di tale sottospazio, ma non risco a capire come comportarmi con la condizione. Scrivo la traccia.
"Nello spazio $RR$$[x]_3$ sia $W$ il sottoinsieme definito da
$ W={p(x): p(1)=p(-1)}$
verificare che $W$ è un sottospazio e trovare una base $B$."
Grazie a tutti per le risposte.

[_prime_number]

Devi verificare le solite condizioni:
- il polinomio nulla verifica $p(1)=p(-1)$?
- se $p,q\in W$ allora $p+q\in W$ (controlla se vale la condizione)?
- se $p \in W$, $cp \in W$ con $c$ costante?
Un generico elemento dello spazio è dato da $ax^3 +bx^2 +cx+d$. La condizione di $W$ richiede che
$a+b+c+d=-a+b-c+d\to a+c=0$.
... prova ad andare avanti tu per trovare la base.

Paola

[n1c0l41]

Grazie per la risposta, sto risolvendo questo mio problema, anche con l'aiuto di altre discussioni sul forum. Grazie ancora

[n1c0l41]

Allora, la base che ho trovato è $B=(x^3-x,x^2,1)$. Ora ho questo polinomio $q(x)=x^3+3x^2-2x$, devo tovare le coordinate in termini della base $B$. La matrice associata alla base è: $((1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1))$, per trovare le coordinate del polinomio ho eguagliato la matrice ai coefficienti del polinomio, così $((1,0,0,|1),(0,1,0,|3),(-1,0,0,|-2),(0,0,1,|0))$
Le nuove coordinate sono $(1,3,0)$
È giusto quello che ho fatto?