Esercizio: sistema di equazioni lineari
Ciao!
Problema con un esercizio relativo ad un sistema di equazioni lineare omogeneo.
Scrivo il testo dell'esercizio e la mia (parziale) risoluzione:
Risolvere il sistema
$\{(ax - y + z =0),(ay + z = 0),(x - y + z = 0):}$
e in particolare discutere la dimensione dello spazio delle soluzioni al variare di l in $RR$.
Risoluzione:
Dunque, come prima cosa ho scritto la matrice associata al sistema:
$((a,-1,1),(0,a,1),(1,-1,1))$
e ne ho calcolato il determinante: D = $a^2 -1$ (dovrebbe essere giusto, l'ho ricontrollato un paio di volte
)
Quindi, la soluzione non banale per $a!= 1$, $a!=-1$ è unica ed è $(x,y,z)=(0,0,0)$
ecco, ora il problema.
Per valutare la dimensione dello spazio delle soluzioni al variare di a, che devo fare?
IO avevo pensato di valutare la matrice per a=1 e a=-1, e otterrei
a = 1 $A=((1,-1,1),(0,1,1),(1,-1,1))$ e il rango è rg(A)=3
a = -1 $A=((-1,-1,1),(0,-1,1),(1,-1,1))$ è il rango è rg(A)= 2 perchè la seconda e la terza colonna sono linearmente dipendenti (Giusto?)
Innanzitutto: c'è qualche tremendo errore fino a qui? (conoscendomi, non si sa mai
)
Ma poi ora come devo proseguire? Cioè, per valutare lo spazio delle soluzioni, devo considerare altri casi o sono sufficienti i 2 studiati?
Grazie mille per l'aiuto.
Buon pomeriggio e buona serata
_L_
Problema con un esercizio relativo ad un sistema di equazioni lineare omogeneo.
Scrivo il testo dell'esercizio e la mia (parziale) risoluzione:
Risolvere il sistema
$\{(ax - y + z =0),(ay + z = 0),(x - y + z = 0):}$
e in particolare discutere la dimensione dello spazio delle soluzioni al variare di l in $RR$.
Risoluzione:
Dunque, come prima cosa ho scritto la matrice associata al sistema:
$((a,-1,1),(0,a,1),(1,-1,1))$
e ne ho calcolato il determinante: D = $a^2 -1$ (dovrebbe essere giusto, l'ho ricontrollato un paio di volte
)Quindi, la soluzione non banale per $a!= 1$, $a!=-1$ è unica ed è $(x,y,z)=(0,0,0)$
ecco, ora il problema.
Per valutare la dimensione dello spazio delle soluzioni al variare di a, che devo fare?
IO avevo pensato di valutare la matrice per a=1 e a=-1, e otterrei
a = 1 $A=((1,-1,1),(0,1,1),(1,-1,1))$ e il rango è rg(A)=3
a = -1 $A=((-1,-1,1),(0,-1,1),(1,-1,1))$ è il rango è rg(A)= 2 perchè la seconda e la terza colonna sono linearmente dipendenti (Giusto?)
Innanzitutto: c'è qualche tremendo errore fino a qui? (conoscendomi, non si sa mai
)Ma poi ora come devo proseguire? Cioè, per valutare lo spazio delle soluzioni, devo considerare altri casi o sono sufficienti i 2 studiati?
Grazie mille per l'aiuto.
Buon pomeriggio e buona serata
_L_
Risposte
"lewis":
a = 1 $A=((1,-1,1),(0,1,1),(1,-1,1))$ e il rango è rg(A)=3
il rango non è affatto 3!! infatti la prima e la terza riga sono identiche.. inoltre dato che il determinante è 0 il rango non poteva essere 3!
Stavi andando benissimo, tutto perfetto. A un certo punto l'errore:
Quando avrai corretto questo errore, avrai determinato il rango della matrice dei coefficienti.
Dal teorema di Rouchè-Capelli, si ha che la dimensione dell'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo è $3-rg(A)$.
A questo punto non ti resta che determinare tali soluzioni, risolvendo effettivamente il sistema, scrivendole in funzione di $3-rg(A)$ parametri.
Edit: Ops, scusa Bord89 per la sovrapposizione
"lewis":
a = 1 $A=((1,-1,1),(0,1,1),(1,-1,1))$ e il rango è rg(A)=3
Quando avrai corretto questo errore, avrai determinato il rango della matrice dei coefficienti.
Dal teorema di Rouchè-Capelli, si ha che la dimensione dell'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo è $3-rg(A)$.
A questo punto non ti resta che determinare tali soluzioni, risolvendo effettivamente il sistema, scrivendole in funzione di $3-rg(A)$ parametri.
Edit: Ops, scusa Bord89 per la sovrapposizione
Grazie a entrambi!
Caspita erroraccio, non so come abbiano fatto a sfuggirmi le due righe uguali!!
Quindi il rango è 2 in entrambi i casi, dunque la dimensione è 1 per i due valori di a.
ora devo trovare le soluzioni risolvendo il sistema, come dice Cirasa...
in entrambi i casi il sistema si è ridotto a 2 equazioni. Io farei così (magari è sbagliato, o magari è scritto in modo un po' rude...)
Caso 1, a=1
$\{(x - y + z =0),(y = - z):}$
Per esempio ponendo z=c, con $c in RR$, le soluzioni sarebbero della forma
(x, y, z) = (-2c, -c, c) ?
E analogamente per a= -1 ottengo alla fine, ponendo z=b, $b in RR$
(x,y,z) = ( 0, b, b)
Ho commesso qualche altra stupidaggine?
Grazie mille ancora ad entrambi per la gentilezza e la disponibilità.
Caspita erroraccio, non so come abbiano fatto a sfuggirmi le due righe uguali!!
Quindi il rango è 2 in entrambi i casi, dunque la dimensione è 1 per i due valori di a.
ora devo trovare le soluzioni risolvendo il sistema, come dice Cirasa...
in entrambi i casi il sistema si è ridotto a 2 equazioni. Io farei così (magari è sbagliato, o magari è scritto in modo un po' rude...)
Caso 1, a=1
$\{(x - y + z =0),(y = - z):}$
Per esempio ponendo z=c, con $c in RR$, le soluzioni sarebbero della forma
(x, y, z) = (-2c, -c, c) ?
E analogamente per a= -1 ottengo alla fine, ponendo z=b, $b in RR$
(x,y,z) = ( 0, b, b)
Ho commesso qualche altra stupidaggine?
Grazie mille ancora ad entrambi per la gentilezza e la disponibilità.
"cirasa":
Edit: Ops, scusa Bord89 per la sovrapposizione
figurati!!
"lewis":No, tutto ok.
Ho commesso qualche altra stupidaggine?
Buono Studio!
"cirasa":No, tutto ok.
[quote="lewis"]Ho commesso qualche altra stupidaggine?
Buono Studio![/quote]
Grazie mille per l'aiuto!
Buon pomeriggio!
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