Esercizio: quartica piana affine razionale.
Ciao a tutti! Ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio su una quartica piana affine razionale di equazione $C: y^4+(y^2-2)x^2$. La traccia richiede:
1. Trova i suoi punti singolari indica il loro tipo, e scrivi le tangenti principali in ciascuno di essi.
2. Individua i suoi asintoti reali e non.
3. Ricava il numero di flessi che essa possiede, e specifica le loro coordinate.
4. Determina sue equazioni parametriche.
Allora:
1. Per trovare i punti singolari ho calcolato prima le derivate parziali prime, una volta uguagliate a zero e messe e sistema ho ottenuto le soluzioni $O(0,0), A(2i,sqrt(2)), B(-2i,sqrt(2)), C(2i,-sqrt(2)), D(-2i,-sqrt(2))$, ma solo O(0,0) appartiene alla curva come punto proprio. Poi ho trovato i punti impropri che risultano essere i punti ciclici $(0,i,1), (0,-i,1)$ ma entrambi sono punti semplici perché non annullano le derivate parziali rispetto a x_0,x_1,x_2. Dunque come punto singolare ho solo l'origine e studiando il complesso dei termini di grado minimo si ha che è un punto doppio con tangente doppia x=0. (Anche se credo di aver sbagliato dato che essendo la curva razionale essa deve avere genere $0$ e quindi $((n-1)(n-2))/2$ punti doppi effettivi dunque in questo caso $3$ punti doppi effettivi).
2. Per individuare gli asintoti basta calcolare la tangente nei suoi punti impropri semplici che in questo caso sono i punti ciclici, dunque, sfruttando la formula $(\partialF)/(partialx_0)x_0+(\partialF)/(partialx_1)x_1+(\partialF)/(partialx_2)x_2=0$, si ha che le tangenti nei punti impropri sono: $2ix_1-2x_2=0$ e $-2ix_1-2x_2=0$
3.Per ricavare il numero di flessi che essa possiede si può sfruttare la formula $f=3n(n-2)-6h-8k $ dove f=numero flessi, h=numero nodi e h=numero cuspidi di prima specie. Risulterebbe così che la curva possiede 18 flessi, essendo n=4,h=1,k=8. Per determinare le loro coordinate basta calcolare l'hessiano e metterlo a sistema con la curva.
4. Per le equazioni parametriche posso sfruttare il metodo trigonometrico. Ponendo $(A)$ $x=\rhocos\theta, y=\rhosen\theta $ ottengo, sostituendo nell'equazione della curva, $ \rho^2=2(cos^2\theta)/(sen^2\theta)$. A questo punto come procedo?Posso ricavare i due valori di $\rho$ e scarto quello negativo dovendo essere $rho\geq0$? E quindi considero $\rho=sqrt2cos\theta/(sen\theta) $ con la limitazione che $\theta$ sia compreso tra $0$ e $\pi/2$? Il passo successivo è poi sostituire il valore di $\rho$ in $(A)$ e dare la forma parametrica a $sen\theta$ e $cos\theta$.
Confido nel vostro aiuto, buona giornata.
1. Trova i suoi punti singolari indica il loro tipo, e scrivi le tangenti principali in ciascuno di essi.
2. Individua i suoi asintoti reali e non.
3. Ricava il numero di flessi che essa possiede, e specifica le loro coordinate.
4. Determina sue equazioni parametriche.
Allora:
1. Per trovare i punti singolari ho calcolato prima le derivate parziali prime, una volta uguagliate a zero e messe e sistema ho ottenuto le soluzioni $O(0,0), A(2i,sqrt(2)), B(-2i,sqrt(2)), C(2i,-sqrt(2)), D(-2i,-sqrt(2))$, ma solo O(0,0) appartiene alla curva come punto proprio. Poi ho trovato i punti impropri che risultano essere i punti ciclici $(0,i,1), (0,-i,1)$ ma entrambi sono punti semplici perché non annullano le derivate parziali rispetto a x_0,x_1,x_2. Dunque come punto singolare ho solo l'origine e studiando il complesso dei termini di grado minimo si ha che è un punto doppio con tangente doppia x=0. (Anche se credo di aver sbagliato dato che essendo la curva razionale essa deve avere genere $0$ e quindi $((n-1)(n-2))/2$ punti doppi effettivi dunque in questo caso $3$ punti doppi effettivi).
2. Per individuare gli asintoti basta calcolare la tangente nei suoi punti impropri semplici che in questo caso sono i punti ciclici, dunque, sfruttando la formula $(\partialF)/(partialx_0)x_0+(\partialF)/(partialx_1)x_1+(\partialF)/(partialx_2)x_2=0$, si ha che le tangenti nei punti impropri sono: $2ix_1-2x_2=0$ e $-2ix_1-2x_2=0$
3.Per ricavare il numero di flessi che essa possiede si può sfruttare la formula $f=3n(n-2)-6h-8k $ dove f=numero flessi, h=numero nodi e h=numero cuspidi di prima specie. Risulterebbe così che la curva possiede 18 flessi, essendo n=4,h=1,k=8. Per determinare le loro coordinate basta calcolare l'hessiano e metterlo a sistema con la curva.
4. Per le equazioni parametriche posso sfruttare il metodo trigonometrico. Ponendo $(A)$ $x=\rhocos\theta, y=\rhosen\theta $ ottengo, sostituendo nell'equazione della curva, $ \rho^2=2(cos^2\theta)/(sen^2\theta)$. A questo punto come procedo?Posso ricavare i due valori di $\rho$ e scarto quello negativo dovendo essere $rho\geq0$? E quindi considero $\rho=sqrt2cos\theta/(sen\theta) $ con la limitazione che $\theta$ sia compreso tra $0$ e $\pi/2$? Il passo successivo è poi sostituire il valore di $\rho$ in $(A)$ e dare la forma parametrica a $sen\theta$ e $cos\theta$.
Confido nel vostro aiuto, buona giornata.
Risposte
Confermo che \(\displaystyle O\) è l'unico punto singolare che ti trovi mediante le derivate parziali; però, con tale metodo ti trovi come altri candidati i punti \(\displaystyle(\pm2\sqrt{2},\mp\sqrt{2})\)!
I punti ciclici sono punti della curva...
I punti ciclici sono punti della curva...
Si può ragionare anche elementarmente, senza passare per la complessificazione della quartica (ovvero lasciando le coordinate cartesiane anziché utilizzre quelle omogenee (che di norma vengono indicate con $x_o,x_1,x_2$).
L'equazione della quartica manca dei termini di grado <2 e quindi l'origine delle coordinate O(0,0) è un punto doppio e il complesso tangente in esso si ottiene annullando l'insieme dei termini di secondo grado. Nel caso nostro tale complesso è
dato dalla retta :
x=0 ( contata due volte).
Tale retta ha tutte le quattro le possibili intersezioni con la quartica coincidenti con l'origine e dunque si tratta di un TACNODO (cioé di un punto dove la quartica tocca sé medesima). Tale tipo di punto multiplo vale 2 punti doppi.
Un altro punto doppio si ottiene osservando che nell'equazione della quartica mancano i termini in "x" di grado superiore a 2
e quindi il punto improprio dell'asse x ( normalmente indicato con $X_{\infty})$ è doppio. Le tangenti alla quartica in $X_{\infty}$ si ottengono annullando il coefficiente di $x^2$ e nel caso nostro si ha:
$y^2-2=0$ da cui le due tangenti $y=\+- \sqrt2$
Si tratta quindi di un punto doppio ordinario. In totale abbiamo che la quartica ha 3 punti doppi che è il massimo numero di punti doppi consentito per una quartica. E dunque la nostra curva è razionale.
L'equazione della quartica manca dei termini di grado <2 e quindi l'origine delle coordinate O(0,0) è un punto doppio e il complesso tangente in esso si ottiene annullando l'insieme dei termini di secondo grado. Nel caso nostro tale complesso è
dato dalla retta :
x=0 ( contata due volte).
Tale retta ha tutte le quattro le possibili intersezioni con la quartica coincidenti con l'origine e dunque si tratta di un TACNODO (cioé di un punto dove la quartica tocca sé medesima). Tale tipo di punto multiplo vale 2 punti doppi.
Un altro punto doppio si ottiene osservando che nell'equazione della quartica mancano i termini in "x" di grado superiore a 2
e quindi il punto improprio dell'asse x ( normalmente indicato con $X_{\infty})$ è doppio. Le tangenti alla quartica in $X_{\infty}$ si ottengono annullando il coefficiente di $x^2$ e nel caso nostro si ha:
$y^2-2=0$ da cui le due tangenti $y=\+- \sqrt2$
Si tratta quindi di un punto doppio ordinario. In totale abbiamo che la quartica ha 3 punti doppi che è il massimo numero di punti doppi consentito per una quartica. E dunque la nostra curva è razionale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo