Esercizio Prova di Esame, Geometria e Algebra

[saviodp7]

Ciao a tutti sono bloccato all'ultimo punto di questa prova di esame:

Sia $B=(v_1,v_2,v_3)$ la base di $RR^3$ costituita dai vettori:
$v_1=(0,1,0) ; v_2=(1,0,1) ; v_3=(0,2,-1)$
e sia $f:RR^3rarrRR^3$ l'applicazione lineare tale che:
$f(v_1)=(0,3,0); f(v_2)=(2,0,4); f(v_3)=(1,1,2)$
Determinare le matrici $M_(\epsilonB)(f), M_(BB)(f),M_(\epsilon\epsilon)(f)$ essendo $\epsilon$ la base canonica di $RR^3$. Trovare inoltre l'espressione esplicita $f(x,y,z)$ dell'applicazione data.

Non riesco a capire che cosa mi chiede di trovare

Ho trovato innanzitutto le immagini dell'applicazione rispetto alla base canonica:3
$f(e_1)=(3,-5,6);f(e_2)=(0,3,0);f(e_3)=(-1,5,-2)$

Quindi a questo punto ho le matrici matrice $M_(BB)(f)= ((0,2,1),(3,0,1),(0,4,2))$ e $M_(\epsilon\epsilon)(f)=((3,0,-1),(-5,3,5),(6,0,-2))$

E invertendo la matrice $M_(B\epsilon)(f)$ (matrice che ha come colonne i vettori della base B) ottengo $M_(\epsilonB)(f)=((-2,1,2),(1,0,0),(1,0,-1))$

che verifica la relazione:

$((0,2,1),(3,0,1),(0,4,2))((-2,1,2),(1,0,0),(1,0,-1))=((3,0,-1),(-5,3,5),(6,0,-2))$

La cosa che non mi è chiara adesso è: l'espressione esplicita la devo ottenere dalla matrice delle immagini rispetto a quali basi?

[isaac888]

Sono d'accordo. Io avrei avuto il tuo stesso problema. Nel dubbio, di solito, la vogliono nella base canonica in partenza ed in arrivo. Altrimenti non avrebbe avuto senso tutto l'ambaradan di farti trovare la matrice nella base canonica in partenza ed arrivo.

[vict85]

Hai frainteso il testo: le immagini dei vettori \(\{v_i\}\) sono scritte rispetto alla base canonica. Quindi quella non è \(M_{BB}\) ma \(M_{\varepsilon B}\) (o \(M_{B\varepsilon}\) a seconda della tua notazione). Consiglio di trovare le matrici di cambiamento di base e moltiplicare.

Penso che \(f\) vada scritta rispetto alla base canonica.