Esercizio Procedimento di Gram-Schmidt
Salve,
mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Nello spazio vettoriale euclideo $RR^3$ munito del prodotto scalare standard, sia data la base B={(1,2,3),(-1,-1,-3),(0,1,1)}.
Mediante il processo di Gram-Schmidt trasformare B in una base ortonormale di $RR^3$.
Vi ringrazio in anticipo.
mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Nello spazio vettoriale euclideo $RR^3$ munito del prodotto scalare standard, sia data la base B={(1,2,3),(-1,-1,-3),(0,1,1)}.
Mediante il processo di Gram-Schmidt trasformare B in una base ortonormale di $RR^3$.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Grazie TeM! Potresti indicarmi una dimostrazione del teorema abbastanza intuitiva?
Potresti capire da solo come funziona. Il procedimento è costruttivo. Pensa all'interpretazione geometrica [url=http://en.wikipedia.org/wiki/File:Dot_Product.svg]link[/url]
\[\langle v,w\rangle=||v||(||w||\cos\hat{vw})=||w||(||v||\cos\hat{vw})\]
il risultato è uno scalare e se lo moltiplichi per un vettore con norma uno non fai altro che trasformarlo in vettore e orientarlo. Pensa poi a come si sottraggono i vettori sul piano.
\[\langle v,w\rangle=||v||(||w||\cos\hat{vw})=||w||(||v||\cos\hat{vw})\]
il risultato è uno scalare e se lo moltiplichi per un vettore con norma uno non fai altro che trasformarlo in vettore e orientarlo. Pensa poi a come si sottraggono i vettori sul piano.
Vi ringrazio, siete stati molto gentili!
Salve ragazzi, riapro la discussione per risolvere un piccolo dubbio:
https://docs.google.com/file/d/0B4C6dFe5aq1WcnFVNHB2S3Jnd0k/edit?usp=sharing
Come mai nell'esercizio svolto dal Sernesi, ci sono le divisioni evidenziate in giallo? O meglio, cosa cambia rispetto allo svolgimento che mi avete quì proposto?
Molto probabilmente è una domanda sciocca, ma la risposta potrebbe illuminarmi!
https://docs.google.com/file/d/0B4C6dFe5aq1WcnFVNHB2S3Jnd0k/edit?usp=sharing
Come mai nell'esercizio svolto dal Sernesi, ci sono le divisioni evidenziate in giallo? O meglio, cosa cambia rispetto allo svolgimento che mi avete quì proposto?
Molto probabilmente è una domanda sciocca, ma la risposta potrebbe illuminarmi!
Il sernesi indica i prodotti scalari con il simbolo $ < v_i , v_j>$. In particolare $||v|| := sqrt( < v_i, v_i>)$ .
Data $B={v_1 ,..., v_n}$ il procedimento di G. S ti permette di determinare da $B$ una base ortogonale dello spazio vettoriale $V$.
La dimostrazione dell'enunciato è costruttiva.
Si pone $u_1= v_1$ e $AA k \in {2,..,n} : u_k = v_k - \sum_(i=1)^n (g(v_k , u_i))/ (||u_i||)^2*u_i$.
Esempio :
Prendiamo $B={(2,1) ,(1,2)}$ di $RR^2$ , pensiamo $RR^2$ come spazio vettoriale euclideo con prodotto scalare quello standard $g$
Poniamo $u_1 = (2,1)$
$u_2 = (1,2) - g((2,1);(1,2))/(||(2,1)||^2) * (2,1) = (1,2) - 4/5 (2,1)=...$
$B' ={u_1,u_2}$ è ortogonale.
Se vuoi una base ortonormale , ti basta dividere ogni $u_i$ per la rispettiva norma.
Data $B={v_1 ,..., v_n}$ il procedimento di G. S ti permette di determinare da $B$ una base ortogonale dello spazio vettoriale $V$.
La dimostrazione dell'enunciato è costruttiva.
Si pone $u_1= v_1$ e $AA k \in {2,..,n} : u_k = v_k - \sum_(i=1)^n (g(v_k , u_i))/ (||u_i||)^2*u_i$.
Esempio :
Prendiamo $B={(2,1) ,(1,2)}$ di $RR^2$ , pensiamo $RR^2$ come spazio vettoriale euclideo con prodotto scalare quello standard $g$
Poniamo $u_1 = (2,1)$
$u_2 = (1,2) - g((2,1);(1,2))/(||(2,1)||^2) * (2,1) = (1,2) - 4/5 (2,1)=...$
$B' ={u_1,u_2}$ è ortogonale.
Se vuoi una base ortonormale , ti basta dividere ogni $u_i$ per la rispettiva norma.
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