Esercizio per determinare autovalori e autovettori di una matrice 3x3

[Danti93]

Salve vorrei proporvi una mia risoluzione di un esercizio e capire se il procedimento che eseguo è quello giusto.
Devo calcolare gli autospazi e gli autovalori di una matrice quadrata di ordine 3, questa qui:
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 1\\
0 & 2 & 0\\
1 & -1 & 3
\end{pmatrix}
Ok, trovo gli autospazi che sono 2 e 4 il primo con molteplicità algebrica 2 e il secondo con molteplicità algebrica 1.
Voglio calcolare adesso l'autospazio associato all'autovalore 4: per $\lambda$= 4, la matrice $A-\lambda Id$ è:
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1\\
0 & -2 & 0\\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
Quindi ottengo il sistema di equazioni:
\begin{equation}
\begin{cases}
-x - y + z = 0\\
-2y = 0\\
x - y - z = 0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = - y + z\\
-2y = 0\\
-y + z - y - z = 0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = z\\
y = 0\\
0 = 0
\end{cases}
\end{equation}
Quindi calcolo l'autospazio associato all'autovalore 4 e ottengo i vettori:
\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}
Quindi ciò che vi chiedo è: il procedimento che eseguo è corretto? Avevo molti dubbi sul sistema

[vict85]

[xdom="vict85"]Ho cancellato il doppione.[/xdom]

[poll89]

Allora, sembra tutto giusto fino a quando trai le conclusioni. Intendo, hai calcolato correttamente gli autovalori ed hai impostato il sistema per calcolare i generatori degli autospazi associati. Considera che risolvendo quel sistema hai calcolato esplicitamente la forma dei vettori appartenenti all'autospazio associato a $lambda$=4, ed hai ottenuto che sono caratterizzati da $x=z$ e da $y=0$. Quindi \[ \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \] viola la seconda condizione e non fa parte di questo spazio, che è invece generato dal solo \[ \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \]

[vict85]

[xdom="vict85"]OK, mi sono accorto ora che dovevo anche spostarlo. Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]

[Danti93]

"poll89":Allora, sembra tutto giusto fino a quando trai le conclusioni. Intendo, hai calcolato correttamente gli autovalori ed hai impostato il sistema per calcolare i generatori degli autospazi associati. Considera che risolvendo quel sistema hai calcolato esplicitamente la forma dei vettori appartenenti all'autospazio associato a $lambda$=4, ed hai ottenuto che sono caratterizzati da $x=z$ e da $y=0$. Quindi \[ \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \] viola la seconda condizione e non fa parte di questo spazio, che è invece generato dal solo \[ \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \]

Scusami poll89 ma non ho ben capito quello che vuoi dire, o meglio dov'è l'errore?

[poll89]

Beh, tu hai detto questo

"Danti93":
Quindi calcolo l'autospazio associato all'autovalore 4 e ottengo i vettori:
\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

che, se ho capito bene, implica che il vettore \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} appartenga all'autospazio relativo all'autovalore 4. Però dal sistema ti usciva che una delle condizioni perchè un vettore appartenga a questa autospazio è che abbia y=0, e qui hai y=1...

[Danti93]

"poll89":Beh, tu hai detto questo
[quote="Danti93"]
Quindi calcolo l'autospazio associato all'autovalore 4 e ottengo i vettori:
\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

che, se ho capito bene, implica che il vettore \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} appartenga all'autospazio relativo all'autovalore 4. Però dal sistema ti usciva che una delle condizioni perchè un vettore appartenga a questa autospazio è che abbia y=0, e qui hai y=1...[/quote]


Ah si ora ho capito cosa intendevi! Grazie per avermelo fatto notare.. quindi posso concludere che solo il vettore \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} appartiene a questo autospazio.. me lo confermi?

[poll89]

non è che appartenga solo lui, è che proprio lo genera. I vettori di tale autospazio sono della forma \[ \begin{pmatrix}t\\ 0\\ t\end{pmatrix} \] con $t in RR$, visto che sono gli unici le cui componenti soddisfano il sistema di prima. Siccome banalmente hai che \[ \begin{pmatrix}t\\ 0\\ t\end{pmatrix} = t * \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \], vedi facilmente che quel vettore genera l'intero autospazio.

[Danti93]

Ti ringrazio per la spiegazione poll89, mi sei stato di grande aiuto! Alla prossima

[Danti93]

Scusami poll89 avrei un altro dubbio.. Per quanto riguarda questa matrice:
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}
Devo determinare sempre l'autospazio e gli autovettori. Prima di determinare il sistema, riordino la matrice in questo modo:
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}
Ora da qui tiro fuori il sistema:
\begin{equation}
\begin{cases}
x - y + z = 0\\
-2x + y = 0\\
y - 2z = 0
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y - z\\
-2(y - z) + y = 0\\
2z = y
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y - z\\
-2y + 2z + y = 0\\
2z = y
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y - z\\
-y + 2z = 0\\
2z = y
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y - z\\
-y + y = 0\\
2z = y
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y - y/2\\
0 = 0\\
z = y/2
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x = y/2\\
0 = 0\\
z = y/2
\end{cases}
\end{equation}
Quindi calcolo l'autospazio associato e ottengo il vettore:
\begin{pmatrix}
1/2\\
1 \\
1/2
\end{pmatrix}
È giusto come procedimento?

[poll89]

Allora, se chiamo \[ B= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]la questione è: B è la tua matrice di partenza, quella data dall'esercizio per intenderci (nel qual caso brutte notizie...), oppure hai $B= A - lambda I$, dove A è la matrice di partenza e $lambda$ l'autovalore in questione? In quest'ultimo caso direi che è tutto giusto ed effettivamente il vettore \[ \begin{pmatrix} 1/2\\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix} \] genera l'autospazio associato a $lambda$. Equivalentemente anche \[ \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] genera l'autospazio, se ti piacciono di più i vettori con gli interi