Esercizio matrici e forma di Jordan
Buonasera a tutti! Riporto qui sotto il testo di un esercizio su cui ho delle difficoltà
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,RR)$ due matrici tali che $A^2+B^2=AB$. Sia $N in M(3,RR)$ la matrice $N=((1,0,0),(0,0,-1),(0,1,-1))$
a)Mostrare che A è invertibile se e solo se B lo è;
b)Mostrare che se $v in RR^n$ è un autovettore comune ad A e B, allora $v in Ker A nn Ker B$
c)Se $A=I$, mostrare che n è pari e calcolare la forma canonica di Jordan di B;
d) Mostrare che se $M in M(3,RR)$ è tale che $tr(M)=tr(M^2)=0$, allora M è simile ad un multiplo di N oppure è nilpotente;
e) Per $n=3$, mostrare che se $BA-AB$ è invertibile, $BA-AB$ è simile ad un multiplo di N
Ho svolto il primo punto con successo. Per gli altri invece ho dei problemi. Qualche consiglio?
Grazie in anticipo
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,RR)$ due matrici tali che $A^2+B^2=AB$. Sia $N in M(3,RR)$ la matrice $N=((1,0,0),(0,0,-1),(0,1,-1))$
a)Mostrare che A è invertibile se e solo se B lo è;
b)Mostrare che se $v in RR^n$ è un autovettore comune ad A e B, allora $v in Ker A nn Ker B$
c)Se $A=I$, mostrare che n è pari e calcolare la forma canonica di Jordan di B;
d) Mostrare che se $M in M(3,RR)$ è tale che $tr(M)=tr(M^2)=0$, allora M è simile ad un multiplo di N oppure è nilpotente;
e) Per $n=3$, mostrare che se $BA-AB$ è invertibile, $BA-AB$ è simile ad un multiplo di N
Ho svolto il primo punto con successo. Per gli altri invece ho dei problemi. Qualche consiglio?
Grazie in anticipo
Risposte
"nick_10":
Ovvero devo imporre che la somma degli autovalori e degli autovalori al quadrato è uguale a zero?
Sì, le ipotesi sono equivalenti a questo.
Posso scrivere $mu=a+ib$ con $a,b in RR$ e imporre a sistema queste due condizioni:
$lambda+mu+bar(mu)=0$ e $lambda^2+mu^2+bar(mu^2)=0$, ovvero
$lambda+2a=0$ e $lambda^2+2a^2-2b^2=0$. Mi sto complicando?
$lambda+mu+bar(mu)=0$ e $lambda^2+mu^2+bar(mu^2)=0$, ovvero
$lambda+2a=0$ e $lambda^2+2a^2-2b^2=0$. Mi sto complicando?
Nono, risolvi il sistema in funzione di $a$ e $b$.
Beh arrivo al punto che $lambda=-2a$ e $3a^2-b^2=0$
"nick_10":
Beh arrivo al punto che $lambda=-2a$ e $3a^2-b^2=0$
Forse mi sono espresso male: trova $a$ e $b$ xD.
Insomma $a = - \frac{\lambda}{2}$ e $b = \pm \frac{\sqrt(3)}{2}|\lambda|$.
Ah okok. Nono rileggendo ti eri espresso benissimo
Per l'ultimo punto una via simile potrebbe andar bene(sfruttando anche la relazione iniziale)
Poi il caso nilpotente non dovrebbe verificarsi qui perchè 0 non è mai autovalore(dato che è invertibile)
Poi il caso nilpotente non dovrebbe verificarsi qui perchè 0 non è mai autovalore(dato che è invertibile)
Sì mi sembra corretto.
Usando la relazione del testo, dovrei ottenere: $BA-A^2-B^2$
Dovrei sempre dividere i due casi? Triangolabile o non?
Dovrei sempre dividere i due casi? Triangolabile o non?
"nick_10":
Usando la relazione del testo, dovrei ottenere: $BA-A^2-B^2$
Dovrei sempre dividere i due casi? Triangolabile o non?
In realtà pensavo volessi usare il punto precedente: $tr(BA-AB) = 0$, se riuscissi a dimostrare che $tr( (BA-AB)^2) = 0$ avresti la tesi.
Ehm si...però poi devo riseguire la suddivisione in casi. Poi però il caso triangolabile non si dovrebbe verificare dato che ho l'ipotesi di invertibilità
"nick_10":
Ehm si...però poi devo riseguire la suddivisione in casi. Poi però il caso triangolabile non si dovrebbe verificare dato che ho l'ipotesi di invertibilità
Perché devi suddividere? Se dimostri che $tr( (BA-AB)^2 ) = 0$ hai la tesi per il punto precedente che hai già dimostrato, il caso nilpotente si esclude per l'invertibilità.
Si quello volevo dire. Che il caso nilpotente (che avevamo dedotto dal caso triangolabile nel punto d)) non si può verificare qui per l'invertibilità
"nick_10":
Si quello volevo dire. Che il caso nilpotente (che avevamo dedotto dal caso triangolabile nel punto d)) non si può verificare qui per l'invertibilità
Okok.
Quindi il punto è dimostrare che $tr((BA-AB)^2) = 0$, hai qualche idea?
Dimostrerei prima che $tr(BA-AB)=0$. O posso evitare questo?
Quello segue dalle proprietà della traccia, chiaramente durante l'esame va dimostrato citando queste proprietà.
Ma l'altro?
Ma l'altro?
Non so...mi verrebbe da utilizzare la relazione del testo
Ci son riuscito alla fine...quindi poi concludo con il punto precedente ed è fatta!
Grazie mille per tutti i consigli preziosissimi e la pazienza
Grazie mille per tutti i consigli preziosissimi e la pazienza
Davvero? Posta i conti, a me non veniva xD
Di nulla, ciao!
Di nulla, ciao!
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