Esercizio (indam) algebra lineare
Salve. Vi propongo un esercizio del concorso indam dello scorso anno.
Dato V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Sia T un endomorfismo t.c. $EE$ esponente q t.c. $T^q=I$ e $T^i!=I$ $AA 0
Mi sono anche fatto un semplice esempio su $RR^2$ considerando $T=((frac{1}{sqrt{2}},1),(1/2,-frac{1}{sqrt{2}}))$ trovando la matrice $M=((1,0),(0,2))$, ma non mi ha illuminato.
Sapreste come procedere in generale?
Dato V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Sia T un endomorfismo t.c. $EE$ esponente q t.c. $T^q=I$ e $T^i!=I$ $AA 0
Mi sono anche fatto un semplice esempio su $RR^2$ considerando $T=((frac{1}{sqrt{2}},1),(1/2,-frac{1}{sqrt{2}}))$ trovando la matrice $M=((1,0),(0,2))$, ma non mi ha illuminato.
Sapreste come procedere in generale?
Risposte
EDIT: questo post è sbagliato
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Secondo me sbagli da subito. Come fai a dire che $T$ è invertibile? Anzi, sicuramente *non* è invertibile, perché $(\det T)^q=0$. Infatti la matrice esempio che hai trovato NON va bene. Pensa piuttosto a \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\).
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Secondo me sbagli da subito. Come fai a dire che $T$ è invertibile? Anzi, sicuramente *non* è invertibile, perché $(\det T)^q=0$. Infatti la matrice esempio che hai trovato NON va bene. Pensa piuttosto a \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\).
premetto che non sono una spada in algebra lineare, ma quella che tu hai scritto è una matrice nilpotente. Il problema invece da una matrice che ad una certa potenza diventa l'identità.
Ho pensato che è un isomorfismo perchè una sua potenza lo è. Se T non fosse iniettiva, infatti, se un elemento non nullo è nel kernel allora sarà annullato dalle potenze di T quindi in particolare anche dall'identità, assurdo. Analogo la suriettività.
Ho pensato che è un isomorfismo perchè una sua potenza lo è. Se T non fosse iniettiva, infatti, se un elemento non nullo è nel kernel allora sarà annullato dalle potenze di T quindi in particolare anche dall'identità, assurdo. Analogo la suriettività.
Uuh che fesso ho letto $0$ a destra.Scusa, ho preso il brutto vizio di rispondere di fretta.
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Si che la matrice è invertibile, è chiaro. Hai ragione. Anche la strategia di soluzione è quella. Come si faccia, bisogna pensarci.
"mr Blonde":Chi è \(\displaystyle T^h\)?
...Definire un prodotto scalare per cui $T^h$ sia un'isometria...
Una banale osservazione che, chissà, potrebbe essere un punto di partenza. Tutti gli autovalori di $T$ sono necessariamente radici dell'unità, quindi in particolare sono numeri complessi di modulo uno. Ora se $T$ è diagonalizzabile (con autovalori complessi, naturalmente), allora prendendone la matrice associata in una base diagonalizzante (occhio che in generale qui si va in $CC^n$) succede che $T^\star T=I$. Questa è l'equazione cercata (ma in senso complesso) con $M=I$.
Si tratta di capire se si puo' estrarre una versione reale di questa proposizione. E poi bisognerà eliminare l'ipotesi di diagonalizzabilità, magari sostituendola con l'esistenza della forma canonica di Jordan.
Insomma ce ne è da fare ancora, mi dispiace di riuscire a dare solo un contributo cosi' striminzito.
Si tratta di capire se si puo' estrarre una versione reale di questa proposizione. E poi bisognerà eliminare l'ipotesi di diagonalizzabilità, magari sostituendola con l'esistenza della forma canonica di Jordan.
Insomma ce ne è da fare ancora, mi dispiace di riuscire a dare solo un contributo cosi' striminzito.
L'idea che mi viene è dimostrare che una matrice siffatta è diagonalizzabile e poi usare quello che ha detto dissonance, mi sembra ragionevole.
Se [tex]T^q=1[/tex] allora [tex]T[/tex] è diagonalizzabile perché il suo polinomio minimo divide [tex]X^q-1[/tex], quindi non ha radici multiple, perché [tex]X^q-1[/tex] non ha radici multiple (una radice è multipla se e solo se è una radice comune al polinomio e al suo polinomio derivato).
Anzi adesso mi sembra proprio che il risultato segua in una riga. Abbiamo [tex]D = PTP^{-1}[/tex] che è diagonale e verifica [tex]D^{\ast}D=I[/tex], ora basta sbattergli dentro l'espressione per [tex]D[/tex] e fare il conto! La matrice [tex]M[/tex] che ne risulta si dimostrerà (facilmente) essere a coefficienti reali.
Se [tex]T^q=1[/tex] allora [tex]T[/tex] è diagonalizzabile perché il suo polinomio minimo divide [tex]X^q-1[/tex], quindi non ha radici multiple, perché [tex]X^q-1[/tex] non ha radici multiple (una radice è multipla se e solo se è una radice comune al polinomio e al suo polinomio derivato).
Anzi adesso mi sembra proprio che il risultato segua in una riga. Abbiamo [tex]D = PTP^{-1}[/tex] che è diagonale e verifica [tex]D^{\ast}D=I[/tex], ora basta sbattergli dentro l'espressione per [tex]D[/tex] e fare il conto! La matrice [tex]M[/tex] che ne risulta si dimostrerà (facilmente) essere a coefficienti reali.
Ottimo, grazie ragazzi!
"Martino":Ecco questa è una buona idea che a me non sarebbe venuta in mente. Ma per questo argomento hai usato da qualche parte l'ipotesi che $T^j\ne I$ se $0
Se [tex]T^q=1[/tex] allora [tex]T[/tex] è diagonalizzabile perché il suo polinomio minimo divide [tex]X^q-1[/tex], quindi non ha radici multiple, perché [tex]X^q-1[/tex] non ha radici multiple (una radice è multipla se e solo se è una radice comune al polinomio e al suo polinomio derivato).
Anzi adesso mi sembra proprio che il risultato segua in una riga. Abbiamo [tex]D = PTP^{-1}[/tex] che è diagonale e verifica [tex]D^{\ast}D=I[/tex], ora basta sbattergli dentro l'espressione per [tex]D[/tex] e fare il conto! La matrice [tex]M[/tex] che ne risulta si dimostrerà (facilmente) essere a coefficienti reali.
Quindi $M=P^\ast P$. Va tutto benissimo, questa matrice è anche definita positiva (altra cosa che deve essere verificata per avere un prodotto scalare, finora ce ne siamo dimenticati). Ma perché ha coefficienti reali...?
Non ho usato che $T^j \ne I$ per $0 < j < q$ ma quell'ipotesi è fumo negli occhi: è chiaro che se esiste $q$ con $T^q=I$ allora esiste un tale $q$ tale che $T^j \ne I$ per ogni $0 < j < q$.
Ora prendiamo $P$ con $PTP^{-1} = D$ diagonale. Allora $D^{\ast}D = I$ da cui $(PTP^{-1})^{\ast} PTP^{-1} = I$ cioè $(P^{-1})^{\ast} T^{\ast} P^{\ast} P T P^{-1} = I$ da cui $T^{\ast} P^{\ast} P T = P^{\ast} P$ quindi scegliamo $M = P^{\ast} P$ ed è chiaro che $M$ ha coefficienti reali perché $M^{\ast} = M$, infatti $M^{\ast} = (P^{\ast} P)^{\ast} = P^{\ast} P = M$ (l'operatore $\ast$ inverte l'ordine ed è involutorio). Ma in effetti questo non implica che $M$ è reale... aspetta che ci penso.
Ora prendiamo $P$ con $PTP^{-1} = D$ diagonale. Allora $D^{\ast}D = I$ da cui $(PTP^{-1})^{\ast} PTP^{-1} = I$ cioè $(P^{-1})^{\ast} T^{\ast} P^{\ast} P T P^{-1} = I$ da cui $T^{\ast} P^{\ast} P T = P^{\ast} P$ quindi scegliamo $M = P^{\ast} P$ ed è chiaro che $M$ ha coefficienti reali perché $M^{\ast} = M$, infatti $M^{\ast} = (P^{\ast} P)^{\ast} = P^{\ast} P = M$ (l'operatore $\ast$ inverte l'ordine ed è involutorio). Ma in effetti questo non implica che $M$ è reale... aspetta che ci penso.
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