Esercizio geometria nello spazio, chiarimenti
buon pomeriggio, ho questo esercizio di geometria da svolgere e vorrei qualche chiarimento:
Sia $E^3(R)$ uno spazio euclideo in cui è fissato un riferimento cartesia ortogonale monometrico R. Sia r la retta di equazioni cartesiane $3x-y=0 , 3x+y+z=-1$ e sia s la retta di equazioni cartesiane $x-3y=0, y-z=0$.
i) determinare il piano \rho contentente r e parallelo ad s.
(considero il fascio proprio di piani $lambda(AX+BY*CZ+D)+mu(A'X+B'Y*C'Z+D')=0$ dove $AX+BY*CZ+D e A'X+B'Y*C'Z+D'$ sono le equazioni di r. dal sistema omogeneo associato a s ricavo il vettore direzione del piano. sostituisco il vettore direttore di $rho$ nell'equazione $lambda(AX+BY*CZ)+mu(A'X+B'Y*C'Z)=0$ e rivavo $lambda$ e $mu$ e verranno poi sostituiti in $lambda(AX+BY*CZ+D)+mu(A'X+B'Y*C'Z+D')=0$. )
ii) Determinare la proiezione ortogonale s' della retta s sul piano \rho e calcolare il punto d'intersezione delle rette s' e r.
(per la seconda parte considero il sistema costituito dalle 4 equazioni cartesiane di s' e r e ne ricavo le soluzioni con la regola di Cramer (dipende da sistema che ottengo
), ma per la prima parte? come posso ricavare s'? )
iii) determinare la perpendicolare comunque alle rette r ed s
(sto studiato questa parte nella teoria ma sinceramente non ho capito molto, potreste aiutarmi?)
vorrei sapere se lo svolgimento dei punti che ho proposto e corretto e un piccolo aiuto per svolgere i rimanenti. non voglio che mi svolgiate l'esercizio sia chiaro, mi basta sapere come comportarmi in questi casi. grazie in anticipo a tutti!
Sia $E^3(R)$ uno spazio euclideo in cui è fissato un riferimento cartesia ortogonale monometrico R. Sia r la retta di equazioni cartesiane $3x-y=0 , 3x+y+z=-1$ e sia s la retta di equazioni cartesiane $x-3y=0, y-z=0$.
i) determinare il piano \rho contentente r e parallelo ad s.
(considero il fascio proprio di piani $lambda(AX+BY*CZ+D)+mu(A'X+B'Y*C'Z+D')=0$ dove $AX+BY*CZ+D e A'X+B'Y*C'Z+D'$ sono le equazioni di r. dal sistema omogeneo associato a s ricavo il vettore direzione del piano. sostituisco il vettore direttore di $rho$ nell'equazione $lambda(AX+BY*CZ)+mu(A'X+B'Y*C'Z)=0$ e rivavo $lambda$ e $mu$ e verranno poi sostituiti in $lambda(AX+BY*CZ+D)+mu(A'X+B'Y*C'Z+D')=0$. )
ii) Determinare la proiezione ortogonale s' della retta s sul piano \rho e calcolare il punto d'intersezione delle rette s' e r.
(per la seconda parte considero il sistema costituito dalle 4 equazioni cartesiane di s' e r e ne ricavo le soluzioni con la regola di Cramer (dipende da sistema che ottengo
), ma per la prima parte? come posso ricavare s'? )iii) determinare la perpendicolare comunque alle rette r ed s
(sto studiato questa parte nella teoria ma sinceramente non ho capito molto, potreste aiutarmi?)
vorrei sapere se lo svolgimento dei punti che ho proposto e corretto e un piccolo aiuto per svolgere i rimanenti. non voglio che mi svolgiate l'esercizio sia chiaro, mi basta sapere come comportarmi in questi casi. grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Ho letto un pochino il tuo post e cercherò di seguire lo svolgimento dei quesiti.
Si vede facilmente che le due rette sono sghembe. Il sistema formato dalle $4$ equazioni non ammette soluzioni.
1) Fascio di piani per la retta $r$. Metti in forma normale questo generico piano. Considera le componenti di un vettore ortogonale al piano (prendi proprio la terna dei coefficienti $x,y,z$) e imponi che tale vettore sia ortogonale alla direzione della retta $s$. Trovi $\lambda$ e $\mu$ e hai il piano $\rho$: $9x-19y-8z-8=0$.
2) Vuole la proiezione $s'$ della retta $s$ sul piano $\rho$. Ovvio che tale retta si ottiene mettendo ad intersezione il piano $\rho$ con il piano $tau$, quest'ultimo si calcola come fascio di piani che contiene $s$ e ortogonale al piano $\rho$. Per determinare il punto di intersezione.........
3) Calcoli in primo luogo la direzione $\vecn$ normale alle due rette $r$ e $s$. Fascio di piani per $r$ contenente la direzione $\vecn$, chiama $\alpha$ questo piano. Fascio di piani per $s$ contenente la direzione $\vecn$, chiama $\beta$ questo piano. La retta incidente e ortogonale le due rette sarà quella che si ottiene intersecando $\alpha$ e $\beta$.
Si vede facilmente che le due rette sono sghembe. Il sistema formato dalle $4$ equazioni non ammette soluzioni.
1) Fascio di piani per la retta $r$. Metti in forma normale questo generico piano. Considera le componenti di un vettore ortogonale al piano (prendi proprio la terna dei coefficienti $x,y,z$) e imponi che tale vettore sia ortogonale alla direzione della retta $s$. Trovi $\lambda$ e $\mu$ e hai il piano $\rho$: $9x-19y-8z-8=0$.
2) Vuole la proiezione $s'$ della retta $s$ sul piano $\rho$. Ovvio che tale retta si ottiene mettendo ad intersezione il piano $\rho$ con il piano $tau$, quest'ultimo si calcola come fascio di piani che contiene $s$ e ortogonale al piano $\rho$. Per determinare il punto di intersezione.........
3) Calcoli in primo luogo la direzione $\vecn$ normale alle due rette $r$ e $s$. Fascio di piani per $r$ contenente la direzione $\vecn$, chiama $\alpha$ questo piano. Fascio di piani per $s$ contenente la direzione $\vecn$, chiama $\beta$ questo piano. La retta incidente e ortogonale le due rette sarà quella che si ottiene intersecando $\alpha$ e $\beta$.
grazie mille, sei stato chiarissimo!
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