Esercizio geometria dei piani

[Markom]

Salve,

Mi trovo in difficoltà per 2 punti di un esercizio. L'esercizio riguarda l'algebra lineare (detta anche Geometria) = vettori, rette e piani in questo caso in R^3.. volevo sapere se qualcuno mi riusciva a sbloccare dalla situazione dandomi una mano con questi due punti.

1)Come posso trovare le equazioni parametriche e cartesiane di una retta che passa per l'origine e forma con il piano sigma: x1 - 2x3 = 1 un angolo di pgreco/4

2)L'altro punto: equazioni parametriche e cartesiane un piano sigma primo che passo anch'esso per l'origine e formi con sigma un angolo di pgreco/4

Non ho proprio capito come sviluppare il problema (ai miei inesperti occhi sembra complesso!)... VI PREGO di aiutarmi. Infiniti ringraziamenti

Cordiali saluti

[Markom]

AIUTOOOO XD

[Markom]

"Sergio":Cominciamo col dire che algebra lineare e geometria non sono proprio la stessa cosa... ma andiamo avanti.
Due cosette su cui basare tutto:
a) data l'equazione cartesiana di un piano, $ax_1+bx_2+c_x3=d$, $(a,b,c)$ è un vettore ortogonale al piano;
b) all'angolo $\theta$ tra due vettori si calcola con: $\cos\theta=()/(||v_1||||v_2||)$.

[quote="Markom"]1)Come posso trovare le equazioni parametriche e cartesiane di una retta che passa per l'origine e forma con il piano sigma: x1 - 2x3 = 1 un angolo di pgreco/4

L'angolo tra una retta $r$ ed un piano $\sigma$ è l'angolo tra $r$ e la sua proiezione ortogonale su $\sigma$.
Tale angolo è complementare a quello tra $r$ e la retta $s$ ortogonale al piano e passante per il punto di intersezione tra $r$ e $\sigma$. Nel nostro caso, l'angolo tra $r$ e $\sigma$ e quello tra $r$ e $s$ perché $pi/2-pi/4=pi/4$.
Si devono trovare le componenti di $v_r=(l,m,n)$, vettore direttore di $r$, conoscendo quelle di $v_s$, vettore direttore di $s$, che si ricavano dall'equazione del piano e sono $(1,0,-1)$.
Si applica quindi la formula:
$\cos pi/4 = (l-n)/(\sqrt(1^2+0^2+1^2)\sqrt(l^2+m^2+n^2))=(l-n)/(\sqrt(2)\sqrt(l^2+m^2+n^2))=\sqrt(2)/2=1/sqrt(2)$
Sembra complicato, ma in realtà vogliamo solo: $l-n=\sqrt(l^2+m^2+n^2)=1$, quindi una soluzione semplice è: $v_r=(1,0,0)$.

"Markom":2)L'altro punto: equazioni parametriche e cartesiane un piano sigma primo che passo anch'esso per l'origine e formi con sigma un angolo di pgreco/4

Qui basta ricordare che l'angolo tra due piani è l'angolo tra i loro vettori ortogonali.[/quote]

Grazie mille per la risposta!!!
La strada che alla fine avevo trovato era simile (variabili a parte) solo che non mi convincevano le soluzioni del sistema perchè erano 2 equazioni a 3 incognite e $∞^1$ soluzioni^^
Oggi in classe ho avuto anche maggiori chiarificazioni... ti ringrazio cmq per avermi risposto!
Cordiali saluti

[Markom]

"Sergio":

La strada che alla fine avevo trovato era simile (variabili a parte) solo che non mi convincevano le soluzioni del sistema perchè erano 2 equazioni a 3 incognite e $∞^1$ soluzioni^^

Questo non è strano: è assolutamente normale.
Cerchi una retta, non un punto. E una retta è fatta di infiniti ($oo^1$) punti.

Si ovvio, come anche un piano dovrebbe essere $oo^2$ punti. Però se ho sufficenti condizione lo riesco ad esprimere^^ Cmq grazie ed è stata una mia sfuducia... alla fine ci ero arrivato!

[desko]

"Sergio":

La strada che alla fine avevo trovato era simile (variabili a parte) solo che non mi convincevano le soluzioni del sistema perchè erano 2 equazioni a 3 incognite e $∞^1$ soluzioni^^

Questo non è strano: è assolutamente normale.
Cerchi una retta, non un punto. E una retta è fatta di infiniti ($oo^1$) punti.

Non ho letto tutto lo svolgimento, ma credo che le $∞^1$ soluzioni soluzioni non siano dovute al fatto che si parla di una retta, perché il problema ci chiede proprio di trovare una retta, non dei punti.
Piuttosto ci sono $∞^1$ rette che soddisfano le condizioni poste dal problema e sono tutte le generatrici di un cono di semiapertura $pi/4$, di vertice il punto dato e di asse perpendicolare al piano dato: tutte passano per il punto e tutte formano un angolo di $pi/4$ col piano.