Esercizio geometria analitica
Salve,
negli esempi di studio ho questo esercizio:
Data R passante per $P=(1,1)$, e parallela alla retta S d'equazione cartesiana $x+y=1$, determinare i punti di R che distano 1 da P
ho trovato la retta parallela alla retta R, che ha l'equazione cartesiana $x+y=2$ solo che adesso non so come si possano determinare i punti di R che distano 1 dal punto dato...
c'è qualcuno che può darmi qualche spiegazione?
grazie
negli esempi di studio ho questo esercizio:
Data R passante per $P=(1,1)$, e parallela alla retta S d'equazione cartesiana $x+y=1$, determinare i punti di R che distano 1 da P
ho trovato la retta parallela alla retta R, che ha l'equazione cartesiana $x+y=2$ solo che adesso non so come si possano determinare i punti di R che distano 1 dal punto dato...
c'è qualcuno che può darmi qualche spiegazione?
grazie
Risposte
Dunque... ho trovato una spiegazione, del professore, negli appunti ma non ci ho capito molto...
Scrivo il procedimento:
Scriviamo la retta R in forma parametrica e pensiamola passante per $P=(1,1)$. Un vettore direttore di R è collineare con un vettore direttore di S, quindi possiamo considerare la coppia $(1, -1)$ (che ha prodotto scalare nullo con la coppia $(1,1)$ come vettore direttore di R.
Pertanto ${(x=1+2t),(y=1-t) :}$ è una rappresentazione parametrica di R.
Un punto X di R che disti 1 da P deve soddisfare la condizione $ 1=||PX||=sqrt((1+2t-1)^2+(1-t-1)^2)$ ossia $1=(sqrt(4t^2+t^2))$ <=> $5t^2=1$ <=> $(+/-) sqrt(1/5) $
Quindi i punti cercati hanno coordinate: $Q1=(1+2/sqrt5 , 1- 1/sqrt5)$ e $Q2=(1-2/sqrt5 , 1+1/sqrt5)$
Scrivo il procedimento:
Scriviamo la retta R in forma parametrica e pensiamola passante per $P=(1,1)$. Un vettore direttore di R è collineare con un vettore direttore di S, quindi possiamo considerare la coppia $(1, -1)$ (che ha prodotto scalare nullo con la coppia $(1,1)$ come vettore direttore di R.
Pertanto ${(x=1+2t),(y=1-t) :}$ è una rappresentazione parametrica di R.
Un punto X di R che disti 1 da P deve soddisfare la condizione $ 1=||PX||=sqrt((1+2t-1)^2+(1-t-1)^2)$ ossia $1=(sqrt(4t^2+t^2))$ <=> $5t^2=1$ <=> $(+/-) sqrt(1/5) $
Quindi i punti cercati hanno coordinate: $Q1=(1+2/sqrt5 , 1- 1/sqrt5)$ e $Q2=(1-2/sqrt5 , 1+1/sqrt5)$
Tuttavia io non capisco come è venuta fuori la rappresentazione parametrica della retta R... non riesco proprio a capire il passaggio, c'è qualcuno che può spiegarmelo?
Non capisco come la retta la retta $s$ possa essere scritta in quel modo, visto che una retta è data dall'ntersezione di due piani.
"l0r3nzo":
Tuttavia io non capisco come è venuta fuori la rappresentazione parametrica della retta R... non riesco proprio a capire il passaggio, c'è qualcuno che può spiegarmelo?
Per passare alle equazioni parametriche di una retta, hai bisogno di conoscere un suo punto e un suo vettore di direzione (dato che non è unico).
In generale
$ r: { ( x= x_0+at ),( y=y_0+bt ):} $
dove $(x_0,y_0)$ è un punto appartenente alla retta $r$ e $(a,b)$ un suo vettore di direzione
@Mirino06: in questo caso siamo nel piano e non nello spazio euclideo
Grazie mille!
"Alxxx28":
Per passare alle equazioni parametriche di una retta, hai bisogno di conoscere un suo punto e un suo vettore di direzione (dato che non è unico).
In generale
$ r: { ( x= x_0+at ),( y=y_0+bt ):} $
dove $(x_0,y_0)$ è un punto appartenente alla retta $r$ e $(a,b)$ un suo vettore di direzione
quindi, scusa se insisto, come viene scritta in maniera cartesiana?
Prova a riflettere su quelle due equazioni, e cerca di capire cosa si può dedurre.
Scrivile prima in questo modo:
[tex]x-x_0=at[/tex]
[tex]y-y_0=bt[/tex]
Scrivile prima in questo modo:
[tex]x-x_0=at[/tex]
[tex]y-y_0=bt[/tex]
"Alxxx28":
Prova a riflettere su quelle due equazioni, e cerca di capire cosa si può dedurre
ti faccio un esempio che forse capisci meglio il dubbio che ho io:
dunque, considerando la retta R ${(x=1+t),(y=-2t), (z=2+t) :}$ in forma parametrica.
quando vado a fare la forma cartesiana mi trovo:
$ x-1 = y/2 = z-2 $
so che può sembrare banale ma qui mi blocco perché non riesco a ricondurla alla forma classica ax+by+cz+d=0...
Proprio per arrivare all' equazione in quella forma, ti ho consigliato prima di riflettere su quelle due equazioni parametriche.
Il ragionamento è analogo al caso dello spazio euclideo, a meno del fatto che in quest' ultimo la retta è rappresentata da due equazioni.
Il ragionamento è analogo al caso dello spazio euclideo, a meno del fatto che in quest' ultimo la retta è rappresentata da due equazioni.
"Alxxx28":
Proprio per arrivare all' equazione in quella forma, ti ho consigliato prima di riflettere su quelle due equazioni paramentriche.
Il ragionamento è analogo al caso dello spazio euclideo, a meno del fatto che in quest' ultimo la retta è rappresentata da due equazioni.
tra i tuoi consigli e quelli trovati su un altro libro sono riuscito a capire come passare dalle cartesiane alle parametriche, adesso mi rimane da comprendere solo quell'ultimo blocco per avere il 100% di comprensione
perfetto
se hai altri dubbi chiedi pure
se hai altri dubbi chiedi pure
"Alxxx28":
perfetto
se hai altri dubbi chiedi pure
mmm.. scusa forse ti è sfuggito il messaggio, però il dubbio ultimo è sempre quello, ovvero se ho questa equazione
$ x-1 = y/2 = z-2 $
come faccio ad arrivare alla forma ax+by+cz+d=0?
cioè posso trasformare $ x-1 = y/2 = z-2 $ in $ x-1-y/2+z-2=0?
"Alxxx28":
perfetto
se hai altri dubbi chiedi pure
mmm.. scusa forse ti è sfuggito il messaggio, però il dubbio ultimo è sempre quello, ovvero se ho questa equazione
$ x-1 = y/2 = z-2 $
come faccio ad arrivare alla forma ax+by+cz+d=0?
cioè posso trasformare $ x-1 = y/2 = z-2 $ in $ x-1-y/2+z-2=0?$
mi scuso per il doppio messaggio, se un moderatore lo trova lo può cancellare... scusate!
Non mi è sfuggito, ti ho anche risposto 
Hai provato a ragionare?
Altro consiglio:
osserva che [tex](x-x_0,y-y_0)=t(a,b)[/tex],dove ovviamente [tex]t \in \mathbb{R}[/tex]
Hai provato a ragionare?
Altro consiglio:
osserva che [tex](x-x_0,y-y_0)=t(a,b)[/tex],dove ovviamente [tex]t \in \mathbb{R}[/tex]
"Alxxx28":
Non mi è sfuggito, ti ho anche risposto
Hai provato a ragionare?
Altro consiglio:
osserva che [tex](x-x_0,y-y_0)=t(a,b)[/tex],dove ovviamente [tex]t \in \mathbb{R}[/tex]
mmm... ok, mi torna tutto però... dove vuoi arrivare? questo mi sfugge
Ti torna tutto, quindi...
Non sai dire nulla su quell' uguaglianza?
Non sai dire nulla su quell' uguaglianza?
"Alxxx28":
Ti torna tutto, quindi...
Non sai dire nulla su quell' uguaglianza?
oddio mi accorgo di affogare in un biccher d'acqua... ma... nono saprei che rispondere...
significa che i vettori [tex](x-x_0,y-y_0)[/tex] e [tex](a,b)[/tex] sono linearmente dipendenti.
Quindi quanto varrà questo determinante?
$ | ( x-x_0, y-y_0 ),( a ,b) | $
Quindi quanto varrà questo determinante?
$ | ( x-x_0, y-y_0 ),( a ,b) | $
"Alxxx28":
significa che i vettori [tex](x-x_0,y-y_0)[/tex] e [tex](a,b)[/tex] sono linearmente dipendenti.
Quindi quanto varrà questo determinante?
$ | ( x-x_0, y-y_0 ),( a ,b) | $
$ (x-x0)*b - (y-y0)*a $
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