Esercizio geometria
Salve a tutti e buon 2009
ho quest'esercizio
r:$\{(x + 2y -1 = 0),(y + z -3 = 0):}$
r':$\{(x=2t),(y=-t),(z=t):}$
due rette
devo trovare il piano che le contiene entrambe .Esistono molti modi per farlo qual'è il più veloce?
Io (non so se il metodo è giusto) prenderei uno dei piani che generano r e vedere oer quali t le coordinate dei punti della retta r' sono soluzioni dell'equazione ax+by+cz=0 a,b, e c dipendono dal piano scelto
grazie
ho quest'esercizio
r:$\{(x + 2y -1 = 0),(y + z -3 = 0):}$
r':$\{(x=2t),(y=-t),(z=t):}$
due rette
devo trovare il piano che le contiene entrambe .Esistono molti modi per farlo qual'è il più veloce?
Io (non so se il metodo è giusto) prenderei uno dei piani che generano r e vedere oer quali t le coordinate dei punti della retta r' sono soluzioni dell'equazione ax+by+cz=0 a,b, e c dipendono dal piano scelto
grazie
Risposte
Mi vengono in mente altri tre metodi:
1) si prendono 4 punti qualsiasi, 2 di r e 2 di r', si sostituiscono le coordinate all'equazione ax+by+cz+d=0 e si risolve il sistema formato dalle 4 equazioni che si ottengono per trovare a, b, c, d
2) si considera l'equazione ax+by+cz+d=0 e la si mette a sistema con r; a questo punto si impone che i ranghi delle matrici completa e incompleta siano entrambi uguali a 2. Si ripete il procedimento con r' (dopo aver trovato l'equazione cartesiana) e alla fine tutte le condizioni trovate si mettono a sistema.
3) si prendono i parametri direttori di r' che formano il vettore (2,-1,1); si risolve il sistema di r e si prendono i suoi parametri direttori (soluzione fondamentale del sistema); si sostituiscono i parametri trovati nell'equazione parametrica di un piano in R^3. Poichè le rette (suppongo) non sono sghembe (altrimenti il piano non esisterebbe) esse possono incontrarsi in un punto; tale punto dà le coordinate mancanti che vanno sostituite nell'equazione parametrica. In generale (le rette possono essere anche parallele), poichè r' passa per l'origine, si possono sostituire le coordinate di un punto qualsiasi di r.
Non saprei qual è il metodo più veloce; credo che tutto dipenda dalle proprie capacità e "caratteristiche"
1) si prendono 4 punti qualsiasi, 2 di r e 2 di r', si sostituiscono le coordinate all'equazione ax+by+cz+d=0 e si risolve il sistema formato dalle 4 equazioni che si ottengono per trovare a, b, c, d
2) si considera l'equazione ax+by+cz+d=0 e la si mette a sistema con r; a questo punto si impone che i ranghi delle matrici completa e incompleta siano entrambi uguali a 2. Si ripete il procedimento con r' (dopo aver trovato l'equazione cartesiana) e alla fine tutte le condizioni trovate si mettono a sistema.
3) si prendono i parametri direttori di r' che formano il vettore (2,-1,1); si risolve il sistema di r e si prendono i suoi parametri direttori (soluzione fondamentale del sistema); si sostituiscono i parametri trovati nell'equazione parametrica di un piano in R^3. Poichè le rette (suppongo) non sono sghembe (altrimenti il piano non esisterebbe) esse possono incontrarsi in un punto; tale punto dà le coordinate mancanti che vanno sostituite nell'equazione parametrica. In generale (le rette possono essere anche parallele), poichè r' passa per l'origine, si possono sostituire le coordinate di un punto qualsiasi di r.
Non saprei qual è il metodo più veloce; credo che tutto dipenda dalle proprie capacità e "caratteristiche"
io ho risolto cosi vedete se va bene
prendo il segmento h e un punto A (-1,1,2) di r ; h che unisce le due rette questo a componenti (2t+1,-t-1,t-2) per eliminare il parametro t impogno che h sia ortogonale a r quindi 2(2t+1)+(t+1)+(t-2)=0 4t +2 +t+1+t-2=0 $t=-1/6$ sostituiso e trovo che le componenti del segmento h senza parametri (2/3,-5/6,-11/6)
il piano che genero
$\{(x=-1+2/3 t + 2t'),(y=1-5/6t-t'),(z=2-11/6t+t'):}$
solo che i valori del segmento ah mi sembrano strani
grazie
prendo il segmento h e un punto A (-1,1,2) di r ; h che unisce le due rette questo a componenti (2t+1,-t-1,t-2) per eliminare il parametro t impogno che h sia ortogonale a r quindi 2(2t+1)+(t+1)+(t-2)=0 4t +2 +t+1+t-2=0 $t=-1/6$ sostituiso e trovo che le componenti del segmento h senza parametri (2/3,-5/6,-11/6)
il piano che genero
$\{(x=-1+2/3 t + 2t'),(y=1-5/6t-t'),(z=2-11/6t+t'):}$
solo che i valori del segmento ah mi sembrano strani
grazie
"fed27":
Salve a tutti e buon 2009
ho quest'esercizio
r:$\{(x + 2y -1 = 0),(y + z -3 = 0):}$
r':$\{(x=2t),(y=-t),(z=t):}$
due rette
devo trovare il piano che le contiene entrambe .
Dal testo del problema, se è corretto, segue che le rette sono incidenti o parallele.
Io sfrutterei il metodo dei fasci.
L'equazione del fascio di piani contenenti la retta $r$ è:
$x + 2y - 1 + lambda * (y + z - 3) = 0$
(dobbiamo però stare attenti al piano che escludiamo, cioè $y + z - 3 = 0$);
a questo punto faccio in modo che l'equazione scritta risulti soddisfatta per
$x = 2t$; $y = -t$; $z=t$:
$2t - 2t - 1 + lambda * (-t + t - 3) = 0$
$-1 - 3 * lambda = 0$ da cui ricaviamo $lambda = -1/3$
sostituendo otteniamo l'equazione cartesiana del piano contenente entrambe le rette:
$x + 2y - 1 + (-1/3) * (y + z - 3) = 0$
semplificando e moltiplicando per 3 (voglio togliere le frazioni) otteniamo:
$3x + 5y - z = 0$
L'equazione del fascio di piani contenenti la retta $r$ è:
$x + 2y - 1 + lambda * (y + z - 3) = 0$
(dobbiamo però stare attenti al piano che escludiamo, cioè $y + z - 3 = 0$);
a questo punto faccio in modo che l'equazione scritta risulti soddisfatta per
$x = 2t$; $y = -t$; $z=t$:
$2t - 2t - 1 + lambda * (-t + t - 3) = 0$
$-1 - 3 * lambda = 0$ da cui ricaviamo $lambda = -1/3$
sostituendo otteniamo l'equazione cartesiana del piano contenente entrambe le rette:
$x + 2y - 1 + (-1/3) * (y + z - 3) = 0$
semplificando e moltiplicando per 3 (voglio togliere le frazioni) otteniamo:
$3x + 5y - z = 0$
La mia soluzione è abbastanza semplice: il metodo dei fasci è utile per
molti utilizzi.
Lo uso abbastanza nelle mie esercitazioni di geometria a ingegneria.
molti utilizzi.
Lo uso abbastanza nelle mie esercitazioni di geometria a ingegneria.
Per la cronaca: le due rette assegnate nel problema sono parallele.
Che non erano incidenti lo si vedeva subito dal fatto che una retta passa per l'origine,
mentre l'altra no.
Alla luce di questa osservazione, è possibile determinare l'equazione parametrica del piano
che deve passare "per forza" per i seguenti punti:
$((0),(0),(0))$, $((2),(-1),(1))$, $((-5),(3),(0))$
l'equazione parametrica è:
$((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + t_1 ((-5),(3),(0)) + t_2 ((2),(-1),(1))$
e quindi:
$((x),(y),(z)) = t_1 ((-5),(3),(0)) + t_2 ((2),(-1),(1))$
Che non erano incidenti lo si vedeva subito dal fatto che una retta passa per l'origine,
mentre l'altra no.
Alla luce di questa osservazione, è possibile determinare l'equazione parametrica del piano
che deve passare "per forza" per i seguenti punti:
$((0),(0),(0))$, $((2),(-1),(1))$, $((-5),(3),(0))$
l'equazione parametrica è:
$((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0)) + t_1 ((-5),(3),(0)) + t_2 ((2),(-1),(1))$
e quindi:
$((x),(y),(z)) = t_1 ((-5),(3),(0)) + t_2 ((2),(-1),(1))$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo