Esercizio forma canonica di una forma quadratica: Gauss lagrange

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Non riesco proprio a risolvere questo esercizio. E' da ore che ci provo con varie
manipolazioni sui coefficienti ma non riesco a cavarne nulla !!!

Determinare una forma canonica della forma quadratica

\( x'=(x,y,z,t) \)

\( \Phi(x') = 5x^2+y^2+4z^3-t^4+2xy-2xz-4xt+4yz-2yt+2zt \)

Ovvero devo trasformarla in un espressione del tipo

\( \Phi=L1X1^2+L2X2^2+ ....... + LnXn^2 \)

con L1, L2,..., Ln numeri reali.

Ho provati davvero in molti modi, ma non ci sono riuscita !
Il prof ci suggerisce sempre quando c'è il termine al quadrato in x di cominciare da quello e scriverlo per primo,
poi di selezionare gli altri di primo grado in x e cercare di fare spuntare un quadrato di trinomio.
Ma data la presenza del 5, è difficoltoso trasformare il tutto in quadrato di trinomio
Mi aiutate, per favore?

[minomic]

Beh puoi sempre scrivere $5x^2$ come $x^2+4x^2$.

[marthy_92]

grazie minomic, ci avevo già provato così, ma non è venuto fuori niente.

[Quinzio]

La matrice corrispondente
\begin{array}{cccc} 5 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 4 & 1 \\ -2 & -1 & 1 & -1\end{array}

non si diagonalizza.
Quindi se non ricordo male (qualcuno mi corregga), non riesci a trovare una forma canonica.

[marthy_92]

quinzio credo che quella matrice sia diagonalizzabile perchè è una matrice reale simmetrica..
comunque credo che ci sia una forma canonica perchè è un compito d'esame.. :/

[Quinzio]

Ok, hai ragione tu.
Comunque vengono degli autovalori "non puliti".