Esercizio fascio di coniche osculatrici
salve ragazzi, mi sto esercitando per l'esame di geometria 1/2...ho un piccolo problema...il prof di geometria 2 dello scorso anno dava tracce semplici...dato che è andato in pensione non so se al prossimo appello scriverà lui le tracce...ho così pensato di andarmi a vedere esercizi degli anni passati, i quali sono parecchio più complicati...in particolare non so come risolvere il seguente esercizio
Fissato in E2 un riferimento cartesiano R = (O; B), si consideri la conica
C: $ x^2+2y^2+2xy-2x-2y=0 $
(a) Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici C in O, tale che i punti A(-2; 0) e B( 2/3 ; 0) siano coniugati rispetto alla generica conica del fascio.
(b) Si determinino le coniche degeneri del fascio e i punti base. Si classi fichino le coniche non degeneri del fascio.
stando alla definizione di coniche osculatrici, ho calcolato la tangente in O a C; poichè O appartiene a C, mi è bastato calcolare la sua polare, ottenendo la retta
r: $ x+y=0 $
A e B sono coniugati quindi ciascuno apprtiene alla polare dell'altro...il problema è che non riesco a capire cosa significa
"Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici C in O"
C appartiene al fascio?...avevo pensato di porre r come una delle due coniche degeneri basi del fascio però come seconda conica non so cosa scegliere...per quel che riguarda i punti base non dovrei avere problemi in quanto O dovrebbe avere molteplicità 3, quindi mi resta da calcolarne solo un altro
l'unico problema per me è calcolarmi l'equazione del fascio
Fissato in E2 un riferimento cartesiano R = (O; B), si consideri la conica
C: $ x^2+2y^2+2xy-2x-2y=0 $
(a) Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici C in O, tale che i punti A(-2; 0) e B( 2/3 ; 0) siano coniugati rispetto alla generica conica del fascio.
(b) Si determinino le coniche degeneri del fascio e i punti base. Si classi fichino le coniche non degeneri del fascio.
stando alla definizione di coniche osculatrici, ho calcolato la tangente in O a C; poichè O appartiene a C, mi è bastato calcolare la sua polare, ottenendo la retta
r: $ x+y=0 $
A e B sono coniugati quindi ciascuno apprtiene alla polare dell'altro...il problema è che non riesco a capire cosa significa
"Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici C in O"
C appartiene al fascio?...avevo pensato di porre r come una delle due coniche degeneri basi del fascio però come seconda conica non so cosa scegliere...per quel che riguarda i punti base non dovrei avere problemi in quanto O dovrebbe avere molteplicità 3, quindi mi resta da calcolarne solo un altro
l'unico problema per me è calcolarmi l'equazione del fascio
Risposte
Secondo me la frase "Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici C in O,tale che..." andrebbe modificata in
"Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici a C in O, tale che ..."
Se è così allora la tua idea è valida.Come prima conica costitutiva del fascio puoi prendere la C medesima perché C è sicuramente osculatrice di se stessa in O.Come seconda conica puoi prendere quella che si spezza nella tangente a C in O ( che ha già con C un contatto bipunto in O) e una retta generica per O in modo che il punto O diventa un contatto tripunto con C.
Perciò l'equazione che ti serve è :
\(\displaystyle x^2+2y^2+2xy-2x-2y+(x+y)(ax+by)=0\)
Imponendo il coniugio di A e B rispetto alla generica conica dovresti trovare ( se non ho fatto errori ) la condizione a=0.
In questo modo l'equazione del fascio diviene:
\(\displaystyle x^2+2y^2+2xy-2x-2y+by(x+y)=0\)
Il resto dell'esercizio è abbastanza normale.
"Si determini un'equazione del fascio F di coniche osculatrici a C in O, tale che ..."
Se è così allora la tua idea è valida.Come prima conica costitutiva del fascio puoi prendere la C medesima perché C è sicuramente osculatrice di se stessa in O.Come seconda conica puoi prendere quella che si spezza nella tangente a C in O ( che ha già con C un contatto bipunto in O) e una retta generica per O in modo che il punto O diventa un contatto tripunto con C.
Perciò l'equazione che ti serve è :
\(\displaystyle x^2+2y^2+2xy-2x-2y+(x+y)(ax+by)=0\)
Imponendo il coniugio di A e B rispetto alla generica conica dovresti trovare ( se non ho fatto errori ) la condizione a=0.
In questo modo l'equazione del fascio diviene:
\(\displaystyle x^2+2y^2+2xy-2x-2y+by(x+y)=0\)
Il resto dell'esercizio è abbastanza normale.
grazie mille...per "coniugio" cosa intendi?...calcolarmi le polari dei due punti rispetto alla conica e imporre l'appartenenza di un polo alla polare dell'altro?
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