Esercizio dimensione, intersezione, ortogonalizzazione e parametro

[VindGrizzly]

Salve a tutti. Ho un po' di problemi con il seguente esercizio e spero in un vostro aiuto.

Determinare la dimensione del sottospazio V descritto dal sistema 
{ x + y − z = 0
{ x − y − z = 0.
Determinare, inoltre, l’intersezione fra V ed il sottospazio Uk = span({(0, k, −1),(k, 0, −1)}), dopo avere stabilito
la dimensione di quest’ultimo al variare di k. Determinare anche il sottospazio U⊥0.

Siccome ho paura di di non essere stato comprensibile, vi posto anche una foto dell'esercizio originale:



Per quanto riguarda la dimensione, non ho problemi: cerco una base e da quella ho la dimensione.
Il problema principale sorge quando devo stabilire la dimensione dell'intersezione al variare di k. Non so da dove cominciare. So fare l'intersezione, ma ho molti dubbi su come muovermi per quanto riguarda il k.
Una volta risolti tutti i problemi dell'intersezione, so come trovare la matrice ortogonale ( U⊥ ), ma non so se si riferisce ad Uk o all'intersezione di questo con V.

Se sono stato poco chiaro, ditemelo e cercherò di rimediare. Sono un po' preoccupato per l'esercizio.

[VindGrizzly]

Up.

[Camillo]

Sottospazio V: $x+y=z ; x-y =z $ da cui : $ x+y=x-y $ e quindi $y=0 ; x=x , z=x $ per cui il vettore generico $v$ è dato da $(x,0,x)$.
Dim V = 1 in quanto si ha un solo parametro libero $x $ , una base di V ad esempio $(1,0,1) $

Sottospazio $U_k = < ( 0,k,-1),(k,0,-1)> $ determino la dipendenza o indipendenza lineare dei 2 vettori generatori del sottospazio.
Creo la matrice $((0,k,-1),(k,0,-1))$ si vede facilmente che il rango è 2 se $kne0$, mentre se $k=0 $ il rango è 1.
Quindi il sottospazio U ha
dimensione 1 se $k=0 $
dimensione 2 se $k ne 0 $
Continua tu...