Esercizio di topologia; continuità e quadriche
1)Sia $T=[(x,y) di R^2 : -1<=x<=1;-1<=y<=1]$. e sia B la famiglia di parti di R^2 costituita da T e dai dischi aperti di $R^2$ che non incontrano T; sappiamo che B è una base di una topologia A di R^2.
a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$
b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso?
c) lo stesso spazio è compatto?
d) lo stesso spazio è metrizzabile?
e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui è inteso spazio topologico).
2) Sia $(R^2,A)$ lo spazio topologico dell'esercizio precedente. Dire se la funzione f di $R^2$ in sè definita ponendo f(x,y)=(2x,2y) è :
a) continua
b) aperta
3) Di una quadrica dello spazio proiettivo sappiamo che le sezioni piane non degeneri sono di tipo ellisse.
a) A quali tipi affini può appartenere Q?
b) C'è qualche proprietà topologica che può essere utilizzata per distinguere le varie Q?
c) Fissato un riferimento scegliere una possibile Q passante per l'origine e rappresentante il piano tangente ad essa in tale punto.
RISOLUZIONE:
a) Si tratta di confrontare le due topologie mediante la relazione di finezza; ovvero devo vedere se tutti gli aperti di una topologia sono contenuti negli aperti dell'altra; qualora valesse anche il viceversa mi troverei dinanzi a due topologie equivalenti.
La topologia A ha per base le unioni degli elementi di B, quindi gli aperti di A sono $R^2$, queste unioni e il vuoto; devo vedere dunque se i dischi aperti della topologia naturale sono contenuti in tali unioni. Sicuramente i dischi della topologia naturale che non incontrano il quadrato sono contenuti nelle unioni, ora devo vedere cosa accade per quelli che incontrano il quadrato; i dischi interni al quadrato sono contenuti in essi; tuttavia ce ne è almeno uno, quello che circoscrive il quadrato che non è contenuto in alcun aperto di A; quindi sicuramente A non è più fine della naturale e quindi le due topologie sicuramente non sono equivalenti; allo stesso modoriesco a vedere che ogni aperto di A è contenuto in un disco, e quindi A è meno fine della naturale.
b) Lo spazio non è connesso, poichè ho che $R^2$ è unione di due aperti digiunti, T ed $R^2-T$=unione di dischi aperti èaperto.
c) Lo spazio non è compatto poichè non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito di B per esso.
d) Posso riccorrere al lemma di Uryshon secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Lo spazio non è $T_3$ poichè se prendo P all'interno del quadrato T, l'unico chiuso C che non contiene il punto P è $R^2-T$ e l'unico aperto contenente C è proprio $R^2$ che contiene P, quindi siamo di fronte ad uno spazio non regolare e quindi sicuramente non metrizzabile.
e) ci penso.....eccoti; forse ti ho beccata. devo prendere una successione che sia alternante o divergente nella topologia naturale e fare in modo che da un certo n in poi i piunti della successione siano contenuti tutti nello stesso introno=aperto. Prendo la successione alternante $(0,(-1)^n)$ tale successione è infatti alternante nel piano dotato di topologia naturale ma converge nella nuova poinche i termini (0,-1),(0,1) sono sempre contenuti nel quadrato T e quindi vale la definizione di limiti di successione.
2) a) e b) Una funzione è continua globalmente se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto; allora, se prendo il quadrato T, mi rendo conto che la sua controimmagine mediante $f^(-1)$ è un quadrato ma di lato dimezzato, quindi la funzione non è continua; non è neanche aperta poiche l'immagine di T mediante f è un quadrato di lato doppio che non è un aperto della mia topologia.
3) a) Poichè le sezioni piane non degeneri sono solo di tipo ellisse; la mia Q può essere un cilindro ellittico o un ellissoide.
b) si, l'ellissoide è connesso e compatto , mentre il cilindro ellittico è connesso ma non compatto.
c) Prendo un ellissoide che passi per l'origine ; in coordinate cartesiane tale ellisoide potrebbe essere (credo) di questo tipo $(x^2+y^2+(z-1)^2)=1$ che in coordinate omogenee assume la forma: $x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 -2x_3 x_4=0$
Scrivo la matrice associata che è:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $ ; poi moltiplico il vettore $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ per tale matrice e ottengo il vettore $(x_1,x_2,x_3-x_4,-x_3)$ moltiplicando per il vettore $(0,0,0,1)$ dovrei ottenere l'equazione del piano tangente all'ellissoide in questione nell'origine.
Si accettano commenti
a) confrontare A con la topologia naturale di $R^2$
b) Lo spazio topologico $(R^2,A)$ è connesso?
c) lo stesso spazio è compatto?
d) lo stesso spazio è metrizzabile?
e) determinare una successione di punti di $R^2$che converge in A ma non nella naturale (ovviamente qui è inteso spazio topologico).
2) Sia $(R^2,A)$ lo spazio topologico dell'esercizio precedente. Dire se la funzione f di $R^2$ in sè definita ponendo f(x,y)=(2x,2y) è :
a) continua
b) aperta
3) Di una quadrica dello spazio proiettivo sappiamo che le sezioni piane non degeneri sono di tipo ellisse.
a) A quali tipi affini può appartenere Q?
b) C'è qualche proprietà topologica che può essere utilizzata per distinguere le varie Q?
c) Fissato un riferimento scegliere una possibile Q passante per l'origine e rappresentante il piano tangente ad essa in tale punto.
RISOLUZIONE:
a) Si tratta di confrontare le due topologie mediante la relazione di finezza; ovvero devo vedere se tutti gli aperti di una topologia sono contenuti negli aperti dell'altra; qualora valesse anche il viceversa mi troverei dinanzi a due topologie equivalenti.
La topologia A ha per base le unioni degli elementi di B, quindi gli aperti di A sono $R^2$, queste unioni e il vuoto; devo vedere dunque se i dischi aperti della topologia naturale sono contenuti in tali unioni. Sicuramente i dischi della topologia naturale che non incontrano il quadrato sono contenuti nelle unioni, ora devo vedere cosa accade per quelli che incontrano il quadrato; i dischi interni al quadrato sono contenuti in essi; tuttavia ce ne è almeno uno, quello che circoscrive il quadrato che non è contenuto in alcun aperto di A; quindi sicuramente A non è più fine della naturale e quindi le due topologie sicuramente non sono equivalenti; allo stesso modoriesco a vedere che ogni aperto di A è contenuto in un disco, e quindi A è meno fine della naturale.
b) Lo spazio non è connesso, poichè ho che $R^2$ è unione di due aperti digiunti, T ed $R^2-T$=unione di dischi aperti èaperto.
c) Lo spazio non è compatto poichè non riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito di B per esso.
d) Posso riccorrere al lemma di Uryshon secondo il quale uno spazio è metrizzabile se è $T_3$ ed $N_2$.
Lo spazio non è $T_3$ poichè se prendo P all'interno del quadrato T, l'unico chiuso C che non contiene il punto P è $R^2-T$ e l'unico aperto contenente C è proprio $R^2$ che contiene P, quindi siamo di fronte ad uno spazio non regolare e quindi sicuramente non metrizzabile.
e) ci penso.....eccoti; forse ti ho beccata. devo prendere una successione che sia alternante o divergente nella topologia naturale e fare in modo che da un certo n in poi i piunti della successione siano contenuti tutti nello stesso introno=aperto. Prendo la successione alternante $(0,(-1)^n)$ tale successione è infatti alternante nel piano dotato di topologia naturale ma converge nella nuova poinche i termini (0,-1),(0,1) sono sempre contenuti nel quadrato T e quindi vale la definizione di limiti di successione.
2) a) e b) Una funzione è continua globalmente se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto; allora, se prendo il quadrato T, mi rendo conto che la sua controimmagine mediante $f^(-1)$ è un quadrato ma di lato dimezzato, quindi la funzione non è continua; non è neanche aperta poiche l'immagine di T mediante f è un quadrato di lato doppio che non è un aperto della mia topologia.
3) a) Poichè le sezioni piane non degeneri sono solo di tipo ellisse; la mia Q può essere un cilindro ellittico o un ellissoide.
b) si, l'ellissoide è connesso e compatto , mentre il cilindro ellittico è connesso ma non compatto.
c) Prendo un ellissoide che passi per l'origine ; in coordinate cartesiane tale ellisoide potrebbe essere (credo) di questo tipo $(x^2+y^2+(z-1)^2)=1$ che in coordinate omogenee assume la forma: $x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 -2x_3 x_4=0$
Scrivo la matrice associata che è:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $ ; poi moltiplico il vettore $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ per tale matrice e ottengo il vettore $(x_1,x_2,x_3-x_4,-x_3)$ moltiplicando per il vettore $(0,0,0,1)$ dovrei ottenere l'equazione del piano tangente all'ellissoide in questione nell'origine.
Si accettano commenti
Risposte
Guarda Giuseppe che biggest ha letto male come gli ho già fatto notare! 
Per quanto riguarda la tua proposta mi stuzzica.
Per quanto riguarda la tua proposta mi stuzzica.
Ho ricontrollato, era il contrario, sugli appunti avevo scritto la definizione con "è contenuto", nel tallini "è". Sorry.
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