Esercizio di topologia....

[menale1]

Dato uno spazio metrico $ (X,d) $ , si dimostri che i singleton sono chiusi.
Beh io ho pensato di condurre codesto ragionamento. Considero il complementare del mio singleton $ {P} $, ossia $ X \\ {P} $ e ne considero un punto $ T $ appartenente allo stesso, il quale apparterrà alla sfera di centro P e raggio r; a tal punto scelto un raggio r' opportunamente piccolo so che esiste la sfera di centro T e raggio proprio r', interamente contenuta in quella di partenza e T, ovviamente, vi appartiene. Da tale conclusione è lecito sostenere che T è interno per $ X \\ {P} $ e ciò vale per $ AA T $ , dunque ciò significa che $ X \\ {P} $ è aperto, dunque $ {P} $ è chiuso.
Che ne dite? Ringrazio anticipatamente per la collaborazione.

[Mrhaha]

Secondo me va!

[j18eos]

Devi solo porre delle condizioni su \(r\) ed \(r'\)!

[menale1]

Se ponessi $ r'=r-d(P,T) $ ?

[j18eos]

Ok, poi chi sarebbe \(r\)? [size=85]Un ultimo sforzo dai![/size]

[menale1]

Oddio, anche su r devo porre condizioni? Non basta dire che è il raggio della mia sferetta di centro P?

[j18eos]

Ovviamente no! La sottolineatura si evince dalla tua scelta di \(r'\): se \(r\) fosse un qualsiasi numero reale positivo, lo sarebbe anche \(r'\)?

[menale1]

Caspita hai ragione appieno, sennò $ r' $ mi risulterebbe negativo e non avrebbe più senso quanto scritto/dimostrato. $ r>d(P,T) $ .

[j18eos]

Ecco; più in generale (e più pienamente) puoi scegliere \(0
Buono studio della topologia, anche a Mrhaha!

[Mrhaha]

Grazie Armando!

[menale1]

Ti ringrazio, Armando. Tutto ciò nella speranza di comprendere quanto la topologia, oltre che per l'analisi, sia utile per la geometria.