Esercizio di topologia
sarà banale, ma quando ho studiato geometria 2 mi sono posta questo problema e, non avendo trovato risposta dalla teoria, l'ho considerato come se fosse un "mio" teorema da "dimostrare". ve lo propongo come esercizio:
consideriamo la retta con la topologia di Sorgenfrey. le parti compatte di essa sono tutte e sole le parti finite, cioè l'insieme vuoto, i singoli punti e le unioni finite di punti.
buon lavoro a chi volesse cimentarsi. ciao.
consideriamo la retta con la topologia di Sorgenfrey. le parti compatte di essa sono tutte e sole le parti finite, cioè l'insieme vuoto, i singoli punti e le unioni finite di punti.
buon lavoro a chi volesse cimentarsi. ciao.
Risposte
mi è sfuggita una cosa: in B lo zero non è di accumulazione?
No perché $U:=[0,1[$ è un aperto che contiene lo zero (dunque è un intorno di zero) e $U\cap B={0}$.
In $A$ invece ogni intorno di zero contiene un intervallo $[0,\epsilon[$ e quindi contiene (infiniti) punti di $A$
diversi da zero.
E' questa asimmetria degli intorni a creare tutti i fenomeni di cui si parlava.
Riguardo ai densi mi sfugge ancora il tuo problema.
scusami, questa risposta mi era proprio sfuggita...
In effetti mi ero un po' intristito ...
grazie mille.
comincio a chiarire alcuni dubbi che mi porto dietro da tanto tempo...
considera che io ho studiato al liceo classico tradizionale, ho avuto sulla mia strada docenti di analisi molto diversi tra loro nel metodo, ma in particolare per tutta la carriera universitaria ho sentito parlare di punti di accumulazione pochissime volte e mai dando una definizione precisa...
abbiamo studiato sull'Apostol analisi 1 e sul Giusti analisi 2.... anche altri argomenti importanti "a cavallo" tra le due sono stati lasciati troppo allo studio personale (mi riferisco in particolare a successioni e serie, ed anche ai numeri complessi). Geometria 2, anche se l'abbiamo fatta bene, non avevamo il supporto di testi validi, tant'è vero che il prof. ci ha fornito materiale per parti molto specifiche del programma.
dopo le tue ultime risposte sono ritornata indietro agli insiemi A e B...
prometto che cercherò di rispodere da sola, però mi sono venuti in mente alcuni esempi di insiemi da sottoporti all'esame se sono o meno compatti:
penso che dopo la tua prossima risposta dovrebbero essere fugati tutti i dubbi...:
$A-{0}$, $B-{0}$, ${n/(n+1), n in NN}$ (e varianti con o senza 0 e/o 1), $Auu{(n+1)/n, n in NN}$.
che cosa ne pensi?
io prometto di dare delle risposte, però ho anche una marea di cose da fare.... oltre ad altri topic con discussioni aperte...
ancora grazie! ciao.
comincio a chiarire alcuni dubbi che mi porto dietro da tanto tempo...
considera che io ho studiato al liceo classico tradizionale, ho avuto sulla mia strada docenti di analisi molto diversi tra loro nel metodo, ma in particolare per tutta la carriera universitaria ho sentito parlare di punti di accumulazione pochissime volte e mai dando una definizione precisa...
abbiamo studiato sull'Apostol analisi 1 e sul Giusti analisi 2.... anche altri argomenti importanti "a cavallo" tra le due sono stati lasciati troppo allo studio personale (mi riferisco in particolare a successioni e serie, ed anche ai numeri complessi). Geometria 2, anche se l'abbiamo fatta bene, non avevamo il supporto di testi validi, tant'è vero che il prof. ci ha fornito materiale per parti molto specifiche del programma.
dopo le tue ultime risposte sono ritornata indietro agli insiemi A e B...
prometto che cercherò di rispodere da sola, però mi sono venuti in mente alcuni esempi di insiemi da sottoporti all'esame se sono o meno compatti:
penso che dopo la tua prossima risposta dovrebbero essere fugati tutti i dubbi...:
$A-{0}$, $B-{0}$, ${n/(n+1), n in NN}$ (e varianti con o senza 0 e/o 1), $Auu{(n+1)/n, n in NN}$.
che cosa ne pensi?
io prometto di dare delle risposte, però ho anche una marea di cose da fare.... oltre ad altri topic con discussioni aperte...
ancora grazie! ciao.
Dunque
1) $A-{0}$ non è chiuso (dato che $0$ è nella chiusura di $A$, essendo di accumulazione per $A$). Ne segue che non è compatto.
2) $B-{0}$ invece è chiuso, ma non può essere compatto - in effetti se a un compatto aggiungi un punto l'insieme risultante è compatto
(per esempio perché l'unione finita di compatti è compatta). Allora se $B-{0}$ fosse compatto, anche $B$ sarebbe compatto - assurdo.
Per gli altri due insiemi le cose vanno in maniera simile, sostituendo $0$ con $1$ e tenendo sempre presente la differenza tra l'arrivare a un punto
"da destra" e "da sinistra"
Per la verità, rileggendo quanto sopra, mi rendo conto che la non compattezza di $B-{0}$ si puo' vedere direttamente, usando lo stesso ricoprimento
con cui si mostra che $B$ non è compatto.
Per il resto non ti preoccupare, anch'io ho una marea di cose da fare. Vedo in effetti che hai una media di messaggi impressionate, mentre dopo
una fiammata iniziale di entusiasmo per il forum, io ho un po' rallentato (sono ancora junior...)
1) $A-{0}$ non è chiuso (dato che $0$ è nella chiusura di $A$, essendo di accumulazione per $A$). Ne segue che non è compatto.
2) $B-{0}$ invece è chiuso, ma non può essere compatto - in effetti se a un compatto aggiungi un punto l'insieme risultante è compatto
(per esempio perché l'unione finita di compatti è compatta). Allora se $B-{0}$ fosse compatto, anche $B$ sarebbe compatto - assurdo.
Per gli altri due insiemi le cose vanno in maniera simile, sostituendo $0$ con $1$ e tenendo sempre presente la differenza tra l'arrivare a un punto
"da destra" e "da sinistra"
Per la verità, rileggendo quanto sopra, mi rendo conto che la non compattezza di $B-{0}$ si puo' vedere direttamente, usando lo stesso ricoprimento
con cui si mostra che $B$ non è compatto.
Per il resto non ti preoccupare, anch'io ho una marea di cose da fare. Vedo in effetti che hai una media di messaggi impressionate, mentre dopo
una fiammata iniziale di entusiasmo per il forum, io ho un po' rallentato (sono ancora junior...)
forse ci sono:
$C={n/(n+1), n in NN}$ non è compatto, e nemmeno $C-{0}$ e $Cuu{1}$ lo sono
$D={1/n, (n+1)/n, n in NN}uu{0}$ è compatto, e lo è anche $D-{2}$, mentre non lo sono $D-{0}$ e $D-{1}$
$E={n/(n+1), (n+1)/n, n in NN}$ non è compatto, e neppure $Euu{0, 1, 2}$
va bene?
ciao e grazie.
$C={n/(n+1), n in NN}$ non è compatto, e nemmeno $C-{0}$ e $Cuu{1}$ lo sono
$D={1/n, (n+1)/n, n in NN}uu{0}$ è compatto, e lo è anche $D-{2}$, mentre non lo sono $D-{0}$ e $D-{1}$
$E={n/(n+1), (n+1)/n, n in NN}$ non è compatto, e neppure $Euu{0, 1, 2}$
va bene?
ciao e grazie.
Mi pare tutto giusto . una volta capita l'idea la cosa e' semplice. Ogni volta che un insieme contiene una successione strettamente crescente,
allora non è compatto. Invece le successioni decrescenti sono innoque (purche' il loro limite appartenga all'insieme).
Penso che possiamo mandare in pensione il signor Sorgenfrey e rivolgerci a piu' alte occupazioni...
allora non è compatto. Invece le successioni decrescenti sono innoque (purche' il loro limite appartenga all'insieme).
Penso che possiamo mandare in pensione il signor Sorgenfrey e rivolgerci a piu' alte occupazioni...
OK. grazie.
le "alte" occupazioni pare che riguardino la filosofia...
le "alte" occupazioni pare che riguardino la filosofia...
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