Esercizio di topologia

[adaBTTLS1]

sarà banale, ma quando ho studiato geometria 2 mi sono posta questo problema e, non avendo trovato risposta dalla teoria, l'ho considerato come se fosse un "mio" teorema da "dimostrare". ve lo propongo come esercizio:

consideriamo la retta con la topologia di Sorgenfrey. le parti compatte di essa sono tutte e sole le parti finite, cioè l'insieme vuoto, i singoli punti e le unioni finite di punti.

buon lavoro a chi volesse cimentarsi. ciao.

[fu^2]

non riesco a trovare come è definita la topologia di Sorgenfrey, saresti così gentile da dirmelo?

grazie mille

ciao

[adaBTTLS1]

oltre agli aperti della topologia euclidea, ha anche gli intervalli con il primo estremo compreso.
possibile che non sia una topologia nota? farò una ricerca... ciao.

[ViciousGoblin]

Mi pare che la congettura sia falsa. Secondo me l'insieme $A:=\{1/n,n\in NN\}\cup\{0\}$ è compatto in questa topologia
(mentre non lo è $B:=\{-1/n, n\in NN\}\cup\{0\}$ ) - per comodità non mettiamo zero in $NN$.

Questo segue dall'osservazione che ogni punto di $A$ è "isolato da sinistra", cioè dato $a\in A$ esiste $\epsilon>0$ per cui
$(a-\epsilon,a)\cap A=\emptyset$. Da questo si deduce che preso un aperto $U$ nella topologia in esame esiste un aperto $U'$
nella topologia euclidea tale che $U\cap A=U'\cap A$. Infatti per ogni $x$ di $U$ posso trovare $\epsilon_x>0$ tale che $[x,x+\epsilon_x)\in U$
(perché $U$ è aperto) e $(x-\epsilon_x,x)\cap A=\emptyset$, e porre $U'=\bigcup_{x\in U}(x-\epsilon_x,x+\epsilon_x)$.

Allora sia $(U_i)_{i\in I}$ un ricoprimento di aperti di $A$ e siano $(U'_i)_{i\in I}$ ottenuti come sopra. Dato che $A$ è compatto rispetto alla toplologia
solita e che $(U'_i)_{i\in I}$ è un ricoprimento di aperti per $A$ nella topologia solita, posso trovare $I_1\subset I$ finito per cui $(U'_i)_{i\in I_1}$
ricopre $A$. Per la proprietà con cui sono stati presi gli $U_i'$ si vede subito che $(U_i)_{i\in I_1}$ ricopre $A$.

Invece il fatto che $B$ non è compatto si vede subito prendendo $U_n:=[-1/n,-1/(n+1))$ e $U_0=[0,1)$, tutti aperti e tutti necessati per ricoprire $B$.

[adaBTTLS1]

siccome io, nel proporre questo quesito, sto rispolverando argomenti accantonati da tanto tempo, vengo subito al dunque con qualche richiesta specifica:
- vorrei essere confortata nell'esattezza di affermazioni prese direttamente dagli appunti:
l'essere $T_2$ e la non compattezza si conservano per estensione di topologia, dunque, poiché la topologia di Sorgenfrey è più fine della euclidea, la retta di Sorgenfrey è non compatta, è $T_2$ ed ogni suo sottospazio è ancora $T_2$
- poiché secondo la mia affermazione $B$ non è compatto (come dici anche tu) ma non lo è nemmeno $A$ (mentre tu dici che è compatto), ti chiedo se $A$ e $B$ sono entrambi compatti secondo la topologia euclidea. se lo sono, io andrò a ripassare la topologia euclidea e accetto pienamente l'obiezione. se secondo te invece non lo sono, ti invito a farmi sapere che cosa ne pensi dell'altra questione, cioè del fatto che la non compattezza si conservi per estensione di topologia.
grazie. ciao.

[ViciousGoblin]

Mi pare che non ci siano dubbi che $A$ e $B$ sono compatti rispetto alla topologia euclidea dato che sono chiusi e limitati.

[adaBTTLS1]

OK. grazie dell'interessamento.
allora, secondo te, come andrebbe modificato l'enunciato?
c'è un modo semplice per descrivere i compatti della retta di Sorgenfrey?
ciao.

[ViciousGoblin]

Non so, devo confessare che anch'io non conoscevo quella topologia, prima della tua domanda (o probabilmente
l'avevo vista senza quel nome ai mei tempi, ehhmm...).

Una congettura che potrebbe essere plausibile è la seguente:
$A$ compatto se è compatto rispetto alla topologia euclidea e ogni suo punto "è isolato da sinistra"
cioè $\forall a\in A$ esiste $\epsilon>0$ tale che $(a-\epsilon,a)\cap A=\emptyset$.

Se non sto prendendo abbagli la condizione che ho scritto è sufficiente per la compattezza (vedi il post precedente)
e forse è anche necessaria.

Ora che ci penso mi pare proprio che ciò che ho scritto sopra sia vero - se $A$ contiene una successione strettamente crescente
che ha limite sinistro, allora $A$ non è compatto.

Pensaci un po' - se vuoi tento di mettere le cose in modo più preciso ....

[adaBTTLS1]

forse gli unici insiemi infiniti compatti sono quelli limitati e numerabili con unico punto di accumulazione coincidente con il minimo?
che ne pensi? ne ho lasciati fuori altri? ciao e grazie.

[ViciousGoblin]

Secondo me sono quelli che ho detto prima - limitati e chiusi e senza punti di accumulazione da sinistra (rispetto alla topologia euclidea)
E' abbastanza naturale che questa topologia sia "piuttosto sbilanciata"

Il fatto che abbiano solo il minimo non va bene - puoi prendere l'insieme $A$ detto prima e translarlo di uno verso destra ottenendo un insieme
$A_1$ che è ancora compatto e ha un punto di accumulazione in $1$. Ma allora anche $A\cup A_1$ è compatto e ha due punti di accumulazione.
Con un po' di pazienza si riesce sicuramente a costruire un insieme compatto con un insieme numerabile di punti di accumulazione (tutti da destra).

Credo viceversa che un compatto possa essere al più numerabile - secondo me un insieme non numerabile e limitato ha sicuramente un punto di accumulazione
sinistro (forse ....)

EDIT
Confermo che se un insieme ha solo punti di accumulazione da destra è necessariamente numerabile - se vuoi ti mando la dimostrazione.
Dunque un compatto secondo Sorgenfrey è necessariamente numerabile.

[adaBTTLS1]

beh, sicuramente unioni finite di insiemi "analoghi" compatti sono ancora compatte...

io però avevo distinto vari casi... dimostrato agevolmente che un qualsiasi intervallo (cardinalità del continuo) non è compatto...
nel caso di insieme denso dicevo che qualsiasi ricoprimento doveva essere ricoprimento anche di tutto un intervallo... questo è giusto, ma evidentemente il ragionamento fa acqua da qualche parte... deve essere possibile che ci sia un ricoprimento aperto infinito per il compatto (necessariamente anche per un opportuno intervallo), che ammetta un'estrazione finita per il compatto e nessuna estrazione finita per un intervallo...!? mi si stanno ingarbugliando le idee...

stavo già per dire che i compatti dovessero avere un minimo (ma forse no) e potessero avere un massimo che però non poteva essere di accumulazione...
e quest'altra lettura mi ha fatto venire altri dubbi.

grazie ancora per l'attenzione. ciao.

[ViciousGoblin]

"adaBTTLS":beh, sicuramente unioni finite di insiemi "analoghi" compatti sono ancora compatte...

io però avevo distinto vari casi... dimostrato agevolmente che un qualsiasi intervallo (cardinalità del continuo) non è compatto...
nel caso di insieme denso dicevo che qualsiasi ricoprimento doveva essere ricoprimento anche di tutto un intervallo... questo è giusto, ma evidentemente il ragionamento fa acqua da qualche parte... deve essere possibile che ci sia un ricoprimento aperto infinito per il compatto (necessariamente anche per un opportuno intervallo), che ammetta un'estrazione finita per il compatto e nessuna estrazione finita per un intervallo...!? mi si stanno ingarbugliando le idee...

stavo già per dire che i compatti dovessero avere un minimo (ma forse no) e potessero avere un massimo che però non poteva essere di accumulazione...
e quest'altra lettura mi ha fatto venire altri dubbi.

grazie ancora per l'attenzione. ciao.

Ho l'impressione che tu confonda i ricoprimenti aperti nel senso usuale e i ricoprimenti aperti nel senso di Sorgenfrey.

Comunque non c'è dubbio che i compatti di Sorgenfrey sono dei compatti euclidei (per quello che hai detto tu qualche post fa) e quindi hanno massimo e minimo.

Però fai male a non fidarti di quello che ti ho scritto Sono piuttosto convinto che:

I compatti di Sorgenfrey sono tutti e soli gli insiemi numerabili chiusi e limitati (in senso tradizionale) tali che ogni loro punto è isolato da sinistra
(nel senso che ti ho detto prima). Questo spiega perché $A$ va bene e $B$ no.


CIAO

[adaBTTLS1]

non è vero che non mi fido. anzi, è molto convincente, ed ho chiarito qualche ora fa qualche perplessità sui compatti della topologia euclidea...
solo che seguendo il forum un po' alla volta sto riprendendo familiarità con argomenti che erano "sepolti" nel lontano passato...
e mi farebbe piacere sia ricordare la logica usata allora in qualche dimostrazione sia correggere evntuali errori...

nella fattispecie, mi pare che concordiamo sul fatto che nessun intervallo (nel senso comune del termine) è compatto e che un qualsiasi compatto deve essere limitato e contenere al massimo un numero di punti numerabile, con quella proprietà che dici tu di "ogni punto isolato da sinistra" (a me suona strano così, però concordo con quello che intendi).
mi chiedevo semplicemente dove sbagliavo quando affermavo che un insieme "denso" non può essere compatto perché ogni suo ricoprimento è ricoprimento di un intero intervallo ?

quindi il mio precedente intervento non era di dubbio sull'esattezza della tua tesi, ma su "dove scricchiola" la mia vecchia dimostrazione (l'unico punto oscuro è appunto quello degli insiemi densi): basterebbe un controesempio...

devo imparare anch'io ad usare le faccine... non ci sono riuscita...!
ciao.

[ViciousGoblin]

Beh mi hai fatto venire in mente una vecchia pubblicità che diceva qualcosa come
"la fiducia si da solo alle cose serie ..." (dunque ne sono sicuramente escluso )

A perte gli scherzi voglio vedere se riesco a seguire il tuo ragionamento.
Se ho capito bene tu dai per buono che un intervallo non è Sorgenfrey compatto e
vuoi dedurne che ogni insieme denso in un intervallo non è Sorgenfrey compatto.
Oppure è qualcos'altro che volevi fare?

Se era quello, allora la tesi è vera e non capisco cosa ti disturba - anche se forse la dimostrazione che accenni
non mi pare corretta: in che senso usi il termine denso ? secondo Sorgenfrey o secondo Euclide?
Perchè se intendi $A$ denso secondo Euclide allora può capitare che un ricoprimento aperto
secondo Sorgenfrey di $A$ non sia un ricoprimento dell'intervallo. Per la precisione potresti non
trovare l'estremo sinistro dell'intervallo se questo non era già in $A$ (mentre gli altri punti dovresti recuperarli).
Però la cosa si aggiusta lo stesso con un po' di pazienza.

Mi incuriosisce poi che per dimostrare che l'intervallo $[a,b]$ non è compatto sembra che tu sfrutti la cardinalità più che numerabile
di $[a,b]$ - che ragionamento fai? Io ci ero arrivato dicendo che presa una successione $(c_n)$ strettamente crescente, con $c_0=a$
e $c_n\tob$ gli insiemi $U_n:=[c_{n-1},c_n)$, per $n\geq 1$ e $U_0=[b,b+1)$ sono aperti disgiunti e ricoprono $[a,b]$, per cui $[a,b]$ non è compatto.

Giusto per parlare.

[adaBTTLS1]

non ricordo quella pubblicità... però, se ti vuoi classificare tu come "non-serio"... io non mi permetterei mai...
... certo, io che avevo lanciato quest'esercizio quasi per gioco, quando ho visto spuntare il tuo atavar, mi sono detta: "caspita, possiamo anche chiudere il topic, perché c'è Vicius che già mi dà la soluzione!"... poi leggo che stavi dimostrando che la tesi era falsa... ho dovuto per forza di cose riprendere in mano vecchi appunti e cercare di "contestualizzare" il problema e metabolizzare la delusione... nemmeno ora sono riuscita ad inserire le "faccine", e non capisco perché.


la mia dimostrazione di non compattezza di $[a, b]$ è perfettamente analoga alla tua (io però non ho preso aperti disgiunti ma tutti con punto iniziale a, tranne uno con punto iniziale b): ${[a, a+(n(b-a))/(n+1))_(n in NN^*), [b, c) : b
penso che hai centrato il problema. che cosa intendi per "denso secondo Sorgenfrey"?
che differenza c'è tra esempi di compatti numerabilmente infiniti e insiemi densi (a parte la presenza di massimi, minimi, punti isolati o meno agli estremi) che non possono essere compatti secondo la stessa topologia?

... quello che io ho scritto nel seguito della dimostrazione (parte contestabile, da valutare) è:
...se prendiamo un sottoinsieme "denso" in un intervallo, un suo ricoprimento è ricoprimento di tutto un intervallo reale, che ha la potenza del continuo e che quindi non è compatto. basta quindi scegliere un opportuno ricoprimento infinito (tipo quello di cui sopra , per $[a, b]$; risulterà impossibile estrarre un numero finito di aperti che ricoprano ancora il sottoinsieme denso (es. $Qnn[a, b]$)....

a questo punto io dico, in base a quello che ho capito delle tue osservazioni, che questa parte della dimostrazione può anche andar bene, ma non esaurisce i casi di insiemi numerabili di punti. se così fosse, perché non sarebbe possibile applicare considerazioni analoghe all'intorno di un punto di accumulazione?

spero che con questo zigzagare non ti abbia portato fuori dal tema principale.
grazie ancora per tutta la pazienza dimostrata.
ciao.

[ViciousGoblin]

non ricordo quella pubblicità...

Molto difficile che tu possa - si tratta di cose antiche in bianco e nero (probabilmente la battuta finale di un carosello....)

penso che hai centrato il problema. che cosa intendi per "denso secondo Sorgenfrey"?

Beh un insieme $A$ è denso in $B$ se $A\subset B$ e la chiusura di $A$ è $B$. Ti accorgi subito, allora, che la
nozione di denso dipende dalla topologia che stai usando. Per esempio $(a,b]$ è denso in $[a,b]$ secondo la
topologia solita ma non lo è nella topologia di Sorgenfrey -im effetti $(a,b]$ è chiuso secondo Sorgenfrey
(perché il suo complementare è aperto) e quindi coincide con la sua chiusura.

... quello che io ho scritto nel seguito della dimostrazione (parte contestabile, da valutare) è:
...se prendiamo un sottoinsieme "denso" in un intervallo, un suo ricoprimento è ricoprimento di tutto un intervallo reale, che ha la potenza del continuo e che quindi non è compatto.

Qui fatico a seguire il filo, forse perché non mi è chiaro di quale dimostrazione stai parlando, Ti faccio comunque notare una cosa, che peraltro mi era sfuggita di primo acchito.

Non è vero, neanche nella topologia euclidea, che se $A$ è denso in $B$ e se $(U_i)$ è un ricoprimento aperto di $A$, allora $(U_i)$ è un ricoprimento di $B$.

Per convincertene prendi $A=(0,1)$ e $B=[0,1]$ e prendi $U_i=(1/i,1-1/i)$ -- per la verità potresti prendere come ricoprimento il solo insieme $A$ che è aperto di suo.

Puoi anche fare cose più complicate (sto tentando di intuire cosa avevi in mente tu) e trovare un ricoprimento aperto dei razionali che ricopre molto poco del resto:

se numeri i razionali mediante una successione $(q_i)$ e consideri $U_i:=(q_i-\epsilon/2^i,q_i+\epsilon/2^i)$, allota gli $U_i$ costituiscono un ricoprimento aperto dei razionali ma la misura
della loro unione vale al massimo $\sum_i{2\epsilon}/{2^i}=4\epsilon$, che puoi rendere piccolo quanto vuoi scegliendo opportunamente $\epsilon$


Comunque ripeto che non capisco esattamente di che dimostrazione stiamo parlando e l'idea che stavi seguendo - perchè non tenti di darmi qualche dettaglio preciso, così vediamo se
ci sono (o non ci sono ) problemi. Sempre se ne hai voglia.

Ciao

[adaBTTLS1]

io ti posso anche copiare quello che ho scritto tanti anni fa sul quaderno... (se ti fa piacere lo farò senz'altro più tardi o domani), ma non è questo il punto...
il tuo ultimo intervento mi ha ricordato la difficoltà con cui si possono affrontare certi temi (sugli insiemi numerici) nella scuola media superiore: insiemi discreti e insiemi densi, cardinalità del numerabile e cardinalità del continuo, di come Q è numerabile ma è anche denso...
comunque tu scegli $epsilon > 0$, piccolo quanto vuoi, $U_i$ ha la cardinalità del continuo...
se hai $(0,1)nnQ$, la chiusura nella topologia euclidea è [0, 1], la chiusura secondo Sorgenfrey è (0, 1], ma che cosa cambia nella sostanza? siamo comunque in spazi di Hausdorff... un eventuale compatto che contenga (0, 1) non può esistere perché un sottospazio è chiuso se e solo se è compatto ($"per " H_2$)...
io ritornerei agli esempi efficaci dei vecchi A e B.
se tu sei riuscito a dimostrare la compattezza di uno dei due, come mai non si sono creati problemi nell'intorno del punto di accumulazione?
ora devo andare. mi farò risentire più tardi. ciao e grazie ancora.

[ViciousGoblin]

io ti posso anche copiare quello che ho scritto tanti anni fa sul quaderno...

Non volevo assolutamente farti cercare nei vecchi appunti. Io avevo capito che, in questi giorni, avevi
in mente una qualche dimostrazione della non compattezza di qualcosa (insiemi densi ?) e volevo capire
meglio di cosa stavamo parlando, anche per rispondere correttamente ai quesiti che mi pare sollevi.
Ma non perdere tempo per causa mia - come dici tu "non è questo il punto"

Provo invece a catturare "il punto" (che ancora mi sfugge) prendendo spunto da ciò che scrivi.

....ma che cosa cambia nella sostanza? siamo comunque in spazi di Hausdorff... un eventuale compatto che contenga (0, 1) non può esistere perché un sottospazio è chiuso se e solo se è compatto...

cosa intendi con questa frase? $[0,1]$ è compatto e contiene $(0,1)$, giusto ? I sottospazi chiusi non sono mica tutti compatti ($RR$ è chiuso e non è compatto, il vecchio insieme $B$ è chiuso
e non è compatto rispetto a Sorgenfrey). Avere punti di accumulazione non è, in generale, un problema per la compattezza.

Non so però se ciò che ho appena scritto ha a che fare con quello che avevi in mente tu - sono perplesso

[adaBTTLS1]

non è un problema rispolverare vecchi appunti, anzi questi (due) mesi di forum mi stanno aiutando molto in tal senso...
quanto al perdere tempo... di certo non è a causa tua, come tu dici, casomai sono io che ti sto facendo perdere tempo!

[0, 1] è compatto secondo la topologia euclidea, non secondo la topologia di Sorgenfrey.

nella frase della citazione mi riferivo ad una proprietà che dovrebbe valere per gli spazi di Hausdorff:
ogni chiuso F contenuto in K compatto è compatto.

io ho utilizzato questa proprietà per dimostrare per assurdo che un qualsiasi intervallo non può essere compatto, insieme con il fatto che la non compattezza si conserva per estensione di topologia: se un qualsiasi intervallo [a,b] fosse per assurdo compatto, allora dovrebbe essere compatto anche l'intervallo (c,d], con a
adesso invece ho notato una proposizione che forse vale la pena di approfondire (almeno di capire bene che cosa significhi):
uno spazio discreto è compatto se e solo se è finito

probabilmente quando io ho fatto quell'affermazione (enunciato dell'esercizio) avevo in mente questa cosa.
secondo te come va interpretata?
........ritorniamo al punto di discreto e denso.........
se riprendi i famosi due insiemi A e B (uno compatto e l'altro no) ed insieme prendi C=$(-1,0]nnQQ$ e D=$[0,1)nnQQ$, C e D non dovrebbero risultare compatti, vero? in questo senso mi chiedevo che cosa cambia tra l'avere un punto di accumulazione e l'essere denso...

ciao e grazie. buona notte.


P.S.: in questo forum non so che cosa si diceva parecchio tempo prima che io mi iscrivessi, ma da quando ho cominciato ad usare termini come "arrugginita", "rispolverare", "ma tanti anni fa" e altre locuzioni che fanno pensare ai tempi andati, c'è stata una gara a chi tornasse più indietro nel tempo, una escalation che ora penso si sia interrotta, perché dopo la tua "pubblicità" c'è stato un tuffo nella "preistoria" da parte di Fioravante Patrone (vedere risposta di topologia a Prime_number).....!?!

[ViciousGoblin]

non è un problema rispolverare vecchi appunti, anzi questi (due) mesi di forum mi stanno aiutando molto in tal senso...
quanto al perdere tempo... di certo non è a causa tua, come tu dici, casomai sono io che ti sto facendo perdere tempo!

[0, 1] è compatto secondo la topologia euclidea, non secondo la topologia di Sorgenfrey.

nella frase della citazione mi riferivo ad una proprietà che dovrebbe valere per gli spazi di Hausdorff:
ogni chiuso F contenuto in K compatto è compatto.

io ho utilizzato questa proprietà per dimostrare per assurdo che un qualsiasi intervallo non può essere compatto, insieme con il fatto che la non compattezza si conserva per estensione di topologia: se un qualsiasi intervallo [a,b] fosse per assurdo compatto, allora dovrebbe essere compatto anche l'intervallo (c,d], con a

TUTTO CHIARO

adesso invece ho notato una proposizione che forse vale la pena di approfondire (almeno di capire bene che cosa significhi):
uno spazio discreto è compatto se e solo se è finito

Direi che discreto significa fatto di punti isolati, cioè senza punti di accumulazione. E' chiaro che dato un tale insieme lo puoi ricoprire con una famiglia di aperti
ognuno dei quali contiene uno e un solo punto - se l'insieme è compatto allora tali aperti (e quindi i punti dell'insieme) devono essere un numero finito.
Questa proprietà mi sembra in effetti interessante da confrontare coi discorsi precedenti. Infatti l'insieme $B$ è Sorgenfrey discreto, in quanto tutti i suoi punti COMPRESO lo zero,
ammettono in intorno che non ha altri punti dell'insieme. Al contrario $A$ non è discreto poiché zero è di accumulazione per $A$. Forse questa osservazione può contribuire
a capire la situazione.

$C$ e $D$ non sono compatti, come minimo perchè non sono chiusi. Un insieme compatto può avere punti di accumulazione (anzi il discorso fatto prima dice che,
un compatto infinito DEVE avere punti di accumulazione ) - dato poi che deve essere chiuso (se siamo in un Hausdorff) deve CONTENERE tutti i suoi punti di accumulazione.

Mi stai facendo fare il più grosso ripasso di topologia dall'età del bronzo

[adaBTTLS1]

scusami, questa risposta mi era proprio sfuggita...
grazie...

mi è sfuggita una cosa: in B lo zero non è di accumulazione?
probabilmente non c'entra nulla, perché la dimostrazione della non compattezza aveva fatto uso di altre cose, però riguardo allo zero non mi pare che ci siano differenze tra A e B...
allora perché un insieme denso non può essere compatto? va bene che l'ho detto io, però io con lo stesso tipo di ragionamento taglierei fuori tanti altri insiemi discreti con punti di accumulazione... (compreso A che invece è compatto...)

ciao e grazie ancora.