Esercizio di Topologia

[TheRealBonfi24]

Ciao ragazzi sto sbattendo la testa da ormai più di un giorno su questo esercizio che sembra banale, ma che a quanto pare per il mio pensiero è più un labirinto, potete aiutarmi? Questo è il testo:

"Sia $ (X,d) $ uno spazio metrico. Sia. $ U sub X $ un aperto e sia $ F sub X $ un sottoinsieme finito. Dimostrare che $ U \\ F $ è aperto in $ X $ "

Grazie mille

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Suggerimento: [tex]U-F = U \cap (X-F)[/tex]. Quindi basta mostrare che [tex]X-F[/tex] è aperto (cioè che $F$ è chiuso).

[TheRealBonfi24]

"Martino":Suggerimento: [tex]U-F = U \cap (X-F)[/tex]. Quindi basta mostrare che [tex]X-F[/tex] è aperto (cioè che $F$ è chiuso).

Domani provo a ragionarci perché oggi sto già sfasando! Ma sono sicuro che ti chiederò ancora aiuto, perché ora come ora.. non mi viene in mente con il tuo suggerimento, nulla di particolare.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Un'intersezione di due aperti è un aperto? I punti (cioè gli insiemi con un solo elemento) sono chiusi? Un insieme finito è un'unione finita di punti? Un'unione finita di chiusi è un chiuso? Prova a ragionare su queste domande.

[TheRealBonfi24]

"Martino":Un'intersezione di due aperti è un aperto? I punti (cioè gli insiemi con un solo elemento) sono chiusi? Un insieme finito è un'unione finita di punti? Un'unione finita di chiusi è un chiuso? Prova a ragionare su queste domande.

Niente si vede che la mia testa odia questo esercizio: non riesco proprio.. riusciresti a spiegarmelo?
Grazie mille!

[killing_buddha]

Ogni spazio metrico è T2, e in un T2 i punti sono chiusi.
Unione finita di chiusi è chiusa: \(F\) è chiuso.
Complementare di chiuso è aperto e intersezione finita di aperti è aperta.
\(U\setminus F = (X \setminus F)\cap U\) è aperto perché intersezione di due aperti.