Esercizio di geometria analtica
Sia $r$ la retta di equazioni cartesiane $\{(x-y+z-1=0),(2x+y-z+1=0):}$
Scrivere un’equazione cartesiana del piano passante per l’origine e ortogonale a $r$.
Vorrei sapere se i conti che ho fatto sono giusti.
Determino il vettore direttore della retta $r$.
$V_r$ è parallelo a $N_(pi_1) x N_(pi_2)$
$N_(pi_1) x N_(pi_2)= 3j+3k -> V_r=(0,1,1)$ Visto che il piano è passante per l'origine, $d=0$, e visto che deve essere ortogonale a $r -> V_r$ è parallelo a $N_pi$
L'equazione del piano è: $y+z=0$
È corretto? Graze.
Scrivere un’equazione cartesiana del piano passante per l’origine e ortogonale a $r$.
Vorrei sapere se i conti che ho fatto sono giusti.
Determino il vettore direttore della retta $r$.
$V_r$ è parallelo a $N_(pi_1) x N_(pi_2)$
$N_(pi_1) x N_(pi_2)= 3j+3k -> V_r=(0,1,1)$ Visto che il piano è passante per l'origine, $d=0$, e visto che deve essere ortogonale a $r -> V_r$ è parallelo a $N_pi$
L'equazione del piano è: $y+z=0$
È corretto? Graze.
Risposte
si è giusto!!!
Ciao, ho un altro esercizio, però qui non so da dove partire.
Determinare l'equazione delle retta passante per il punto $A(0,1,-1)$, parallela al piano $pi: x=y$ ed incidente la retta $\{(2x=y),(z=-x+1):}$
Devo partrire da questa equazione? $\{(x=x_0+lambdal),(y=y_0+lambdam),(z=z_0+lambdan):}$
Se la retta è parallela al piano, il vettore direttore e la normale al piano $(1,-1,0)$ saranno perpendicolari, però non riesco a sbloccarmi.
Determinare l'equazione delle retta passante per il punto $A(0,1,-1)$, parallela al piano $pi: x=y$ ed incidente la retta $\{(2x=y),(z=-x+1):}$
Devo partrire da questa equazione? $\{(x=x_0+lambdal),(y=y_0+lambdam),(z=z_0+lambdan):}$
Se la retta è parallela al piano, il vettore direttore e la normale al piano $(1,-1,0)$ saranno perpendicolari, però non riesco a sbloccarmi.
Forse ho risolto: potete dirmi se ho fatto bene il ragionamento?
Per quanto riguarda il passaggio: $\{(x=lambdal),(y=1+lambdam),(z=-1+lambdan):}$
Sicomme deve essere parallela al piano, il vettore normale e quello direttore saranno perpendicolari. Quindi ho fatto il prodotto scalare tra $N=(1,-1,0)$ E il vettore direttore $(l,m,n)$ Quindi $l-m=0$
$l=m$
$\{(x=lambdal),(y=1+lambdal),(z=-1+lambdan):}$
Poi ho fatto la matrice ponedola ugaule a zero; alla prima riga ho messo $R-S$ dove $R(0,1,-1)$ e $S$ è un punto che ho trovato intersecando i due piani dati dall'esercizio. Seconda e terza riga, i vettori direttori.
Alla fine ho trovato $n-l=0$
È corretto?
Per quanto riguarda il passaggio: $\{(x=lambdal),(y=1+lambdam),(z=-1+lambdan):}$
Sicomme deve essere parallela al piano, il vettore normale e quello direttore saranno perpendicolari. Quindi ho fatto il prodotto scalare tra $N=(1,-1,0)$ E il vettore direttore $(l,m,n)$ Quindi $l-m=0$
$l=m$
$\{(x=lambdal),(y=1+lambdal),(z=-1+lambdan):}$
Poi ho fatto la matrice ponedola ugaule a zero; alla prima riga ho messo $R-S$ dove $R(0,1,-1)$ e $S$ è un punto che ho trovato intersecando i due piani dati dall'esercizio. Seconda e terza riga, i vettori direttori.
Alla fine ho trovato $n-l=0$
È corretto?
Io ho provato a risolvere l'esercizio applicando pedestremente le condizioni di parallelismo, di complanarità e di incidenza.
La condizione di parallelismo tra una retta di parametri direttori $[(l,m,n)]$ e un piano del tipo $ax+by+cz+d$ è che $al+bm+cn=0$
Applicandola, trovi, come hai trovato te, che $l=m$
Ora, se le due rette devono essere incidenti, devono innanzitutto essere complanari e quindi il determinante matrice $A|B$ derivante dal sistema delle loro equazoni deve essere 0 (cosa che credo tu abbia fatto dicendo "ho fatto la matrice ponendola uguale a 0"). A me risulta $n=-l$ ma potrebbe essere un mio errore di calcolo dalla fretta. Prova a rivedere velocemente i tuoi.
Ricordati che però che non basta che le rette siano complanari ma, come richiesto devo essere incidenti. Quindi il sistema delle loro equazioni deve avere un'unica soluzione e quindi $ro(A)=ro(A|B)$. (con ro indico il rango) Verificando questa equazione troverai anche il terzo parametro.
Ora ti basta costruire la stella di rette, con centro il punto (0,1,-1), usando i parametri $l m n$ trovati ed avrai le tue due equazioni di piano della retta cercata.
La condizione di parallelismo tra una retta di parametri direttori $[(l,m,n)]$ e un piano del tipo $ax+by+cz+d$ è che $al+bm+cn=0$
Applicandola, trovi, come hai trovato te, che $l=m$
Ora, se le due rette devono essere incidenti, devono innanzitutto essere complanari e quindi il determinante matrice $A|B$ derivante dal sistema delle loro equazoni deve essere 0 (cosa che credo tu abbia fatto dicendo "ho fatto la matrice ponendola uguale a 0"). A me risulta $n=-l$ ma potrebbe essere un mio errore di calcolo dalla fretta. Prova a rivedere velocemente i tuoi.
Ricordati che però che non basta che le rette siano complanari ma, come richiesto devo essere incidenti. Quindi il sistema delle loro equazioni deve avere un'unica soluzione e quindi $ro(A)=ro(A|B)$. (con ro indico il rango) Verificando questa equazione troverai anche il terzo parametro.
Ora ti basta costruire la stella di rette, con centro il punto (0,1,-1), usando i parametri $l m n$ trovati ed avrai le tue due equazioni di piano della retta cercata.
prova a vedere questa retta come intersezione di 2 piani...
$\{(\text(piano ortogonale ad r e passante per A)),(\text(piano parallelo propriamente a \pi e passante per A)):}
$\{(\text(piano ortogonale ad r e passante per A)),(\text(piano parallelo propriamente a \pi e passante per A)):}
Ho fatto come hai detto e mi è sembrato meno lungo come procedimento. Grazie.
Una domanda: quando ho l'eqauzione di un piano, per esempio $-3x+3y-z+2=0$, questa la posso scrivere anche come $3x-3y+z-2=0$?
Una domanda: quando ho l'eqauzione di un piano, per esempio $-3x+3y-z+2=0$, questa la posso scrivere anche come $3x-3y+z-2=0$?
noooo!!! anch'io facevo sti errori pensando "tanto è una semplice equazione" e invece nooooo...cambia tutto!!! Attenzione!!!
Grazie mille.
Ciao! Non riesco a portare in fondo questo esercizio:
Determinare l'equazione della retta passante per il punto $A=(2,1,3)$, parallela al piano $2x+y-z=0$ ed avente distanza $sqrt2$ dal piano $x+y-1=0$.
Ho proceduto così:
$\{(x=x_0+lambdal),(y=y_0+lambdam),(z=z_0+lambdan):}$
Impongo il passaggio per $A$
$\{(x=2+lambdal),(y=1+lambdam),(z=3+lambdan):}$
$(2,1,-1)*(l,m,n)=0$ visto che la retta deve essere parallela al piano $2x+y-z=0$. Ho trovato quindi $2l+m-n=0 -> n=m+2l$
A questo punto devo fare la distanza, che equivale a fare la distanza di un punto della retta dal piano. Pongo per esempio $lambda=1$ in modo da trovare un punto qualunque della retta in modo che compaiano i parametri. Quindi, un punto qualsiasi della retta è $(2+l,1+m,3+m+2l)$
$sqrt2=(|2+l+1+m-1|)/sqrt2$ da cui trovo $l=-m$
$\{(x=2+lambda(-m)),(y=1+lambdam),(z=3+lambdan):}$
A questo punto, come faccio a tovare $n$?
Grazie, ciao!
Determinare l'equazione della retta passante per il punto $A=(2,1,3)$, parallela al piano $2x+y-z=0$ ed avente distanza $sqrt2$ dal piano $x+y-1=0$.
Ho proceduto così:
$\{(x=x_0+lambdal),(y=y_0+lambdam),(z=z_0+lambdan):}$
Impongo il passaggio per $A$
$\{(x=2+lambdal),(y=1+lambdam),(z=3+lambdan):}$
$(2,1,-1)*(l,m,n)=0$ visto che la retta deve essere parallela al piano $2x+y-z=0$. Ho trovato quindi $2l+m-n=0 -> n=m+2l$
A questo punto devo fare la distanza, che equivale a fare la distanza di un punto della retta dal piano. Pongo per esempio $lambda=1$ in modo da trovare un punto qualunque della retta in modo che compaiano i parametri. Quindi, un punto qualsiasi della retta è $(2+l,1+m,3+m+2l)$
$sqrt2=(|2+l+1+m-1|)/sqrt2$ da cui trovo $l=-m$
$\{(x=2+lambda(-m)),(y=1+lambdam),(z=3+lambdan):}$
A questo punto, come faccio a tovare $n$?
Grazie, ciao!
Potete per favore darmi una mano?
hm...se la
retta passante per quel punto ha "distanza" da un piano, è
parallela a quel piano, no?
-questa è la condizione da usare. (è ridondante
che abbia distanza "tot" -perchè ti è data! l'informazione
è che "abbia distanza").
retta passante per quel punto ha "distanza" da un piano, è
parallela a quel piano, no?
-questa è la condizione da usare. (è ridondante
che abbia distanza "tot" -perchè ti è data! l'informazione
è che "abbia distanza").
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