Esercizio di algebra lineare

[indovina]

Ho questo spazio vettoriale euclideo:

$W=((a,b,c))$ di $R^3$ tale che: $a+b-c=0$


Dire se è un sottospazio di $R^3$ e determinare la dimensione esibendone una base.

Allora ho preso tre vettori che mi facessero $a+b-c=0$

$v_1=(1,-1,0)$

$v_2=(0,1,1)$

$v_3=(1,0,1)$

fatta la matrice associata, il determinante è $0$, e deduco che non è un automorfismo.(prima osservazione)
Poi questi di vettori, due sono L.I mentre il terzo dipende dagli altri.
La dim=2
Una base può essere formata da (1,0,1),(-1,1,0)

Va bene secondo voi?

[franced]

"clever":
$W=((a,b,c))$ di $R^3$ tale che: $a+b-c=0$
Dire se è un sottospazio di $R^3$ e determinare la dimensione esibendone una base.

Ricavati $c$:

$c = a + b$

quindi

[tex]\left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
c
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
a \\
b \\
a+b
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
a \\
0 \\
a
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
0 \\
b \\
b
\end{array} \right) = a \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right) + b \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array} \right)[/tex] .

[indovina]

Mettiamo che questo passo l'ho saltato e sono andata alla ricerca effettiva di tre vettori, tra quei tre che ho scelto c'è sempre uno che dipende linearmente da altri giusto?
giustamente come dici tu, avrei potuto prendere $a(1,0,1)$ e $b(0,1,1)$ ma quelli che ho preso io, vanno bene o no?

(la cosa è questa, tale ragionamento che hai fatto tu, non l'ho mai visto in classe xD)
Inoltre la base è formata dai vettori in colonna?