Esercizio di algebra lineare
Ciao a tutti
cortesemente potreste aiutarmi a risolvere questo tipo di esercizio?
dati i vettori
u (3,1,0)
v (0,-2'1)
W (6,-2,2)
indicare :
-il sottospazio S generato da u,v,w
-base e dimensioni di S
-il sottospazio W intersezione di S con S' con S'=x+3y-z=0
-base e dimensione di W
Ringrazio tutti
Ciao - ANNA
cortesemente potreste aiutarmi a risolvere questo tipo di esercizio?
dati i vettori
u (3,1,0)
v (0,-2'1)
W (6,-2,2)
indicare :
-il sottospazio S generato da u,v,w
-base e dimensioni di S
-il sottospazio W intersezione di S con S' con S'=x+3y-z=0
-base e dimensione di W
Ringrazio tutti
Ciao - ANNA
Risposte
i primi due punti sono veloci
osserva che $2(u+v)=w$, dunque $dim(S)=2,B_S={u,v}$
gli altri due...
qualcuno che ha più voglia di me
osserva che $2(u+v)=w$, dunque $dim(S)=2,B_S={u,v}$
gli altri due...
qualcuno che ha più voglia di me
Fondamentalmente l'esercizio è semplice, in quanto bisogna giocare molto sulla lineare dipendenza o indipendenza tra i vettori.Dunque per il primo punto occorre vedere da quanti e quali vettori (linearmente ind.) il sottospazio vett. S è generato,(potresti verificarlo con la matrice costituita dai vettori u,v,w).Essendo i primi due linearm indip. $S=L(u,v)$ con $dimS=2$.Nel 3° punto sapendo che una base di S' è $(a,b,a+3b)$ e quindi $(1,0,1),(0,1,3)$ $dimS'=2$,per cui sapendo le dimensioni di S ed S' e intersecando i 4 vettori potrebbe risolverlo applicando la relazione di Grassmann.
gianluca mi sono permesso di mettere le mani sul tuo post..
avevi dimenticato un "dollaro" e una parte era praticamente illegibile
ciao
avevi dimenticato un "dollaro" e una parte era praticamente illegibile
ciao
Grazie per l'aiuto, ma vi chiedo cortesemente
di spiegarmi passo-passo l'esercizio.
Mi fareste un grosso piacere.
Ciao - ANNA
di spiegarmi passo-passo l'esercizio.
Mi fareste un grosso piacere.
Ciao - ANNA
L'algebra lineare è una delle branche della matematica più astratte per la sua capacità di operare in dimensioni $>3$ e poichè il cervello umano è stato "progettato" per dimensioni $< o uguali a 3$, la risoluzione di problemi algebrici deve essere la conseguenza di un attento studio dei Teoremi che personalmente le consiglirei di guardare con molta attenzione!!!Dunque cerchiamo di chiarire da cos'è generato S( cioè dai vettori che sono indipendenti e che costituiscono una base).Un modo molto semplice ma non sempre applicabile per verificare se i vettori dati sono l.i. è quello di costruire una matrice nel suo caso $3*3$ e vedere se il determinante è nullo(vettori l.d.) o viceversa(l.i.).Nel suo caso è immediato verificare la loro lineare dipendenza in quanto $w=2(u+v)$.Per cui i primi due sono indipendenti e costituiscono una base (quindi generano il sottospazio) ed essendo due vettori, la $dimS=2$. Per non dilungarmi le consiglierei di visitare: http://poincare.unile.it/vitolo/geomalg.shtml
A presto!
A presto!
Forse Anna vuole uno schema a cui riferirsi per altre esercitazioni.
Per il punto primo (gia' abbondantemente spiegato da altri) si opera
come segue.
Metti in una sola matrice M i 3 vettori ed ottieni:
$M=((3,1,0),(0,-2,1),(6,-2,2))$
Il determinante di M e' nullo e quindi il rango (o caratteristica) di M
e' <3.Se prendiamo il minore E 2x2 formato con le prime 2 righe e colonne
risulta:
$det E=det((3,1),(0,-2))=-6$ e poiche' tale det e' diverso da 0
si conclude che M ha rango 2 e quindi una base di M e' quella formata
dai primi due vettori dati (perche' sono quelli le cui componenti
contengono il minore E). Inoltre, poiche' tali vettori sono in numero di 2,
la dimensione di S e' proprio 2:
base_di_S={(3,1,0),(0,-2,1)}
dimensione_di_S=2
Passiamo ora al secondo punto e per fare questo dobbiamo trovare i
vettori di S che appartengono anche ad S' ovvero che soddisfano
l'equazione x+3y-z=0.Ora il generico vettore di S si esprime come
combinazione lineare mediante due parametri $lambda,mu$
dei vettori base di S e quindi tale vettore generico e':
$v=lambda(3,1,0)+mu(0,-2,1)=(3lambda,lambda-2mu,mu)$
Sostituendo nell'equazione abbiamo:
$6lambda=7mu$ e scegliendo $lambda=7k,mu=6k$ si ha:
v=k(21,-5,6)
In conclusione una base di W puo' essere proprio il vettore (21,-5,6) e
la dimensione e' ovviamente 1
karl
Per il punto primo (gia' abbondantemente spiegato da altri) si opera
come segue.
Metti in una sola matrice M i 3 vettori ed ottieni:
$M=((3,1,0),(0,-2,1),(6,-2,2))$
Il determinante di M e' nullo e quindi il rango (o caratteristica) di M
e' <3.Se prendiamo il minore E 2x2 formato con le prime 2 righe e colonne
risulta:
$det E=det((3,1),(0,-2))=-6$ e poiche' tale det e' diverso da 0
si conclude che M ha rango 2 e quindi una base di M e' quella formata
dai primi due vettori dati (perche' sono quelli le cui componenti
contengono il minore E). Inoltre, poiche' tali vettori sono in numero di 2,
la dimensione di S e' proprio 2:
base_di_S={(3,1,0),(0,-2,1)}
dimensione_di_S=2
Passiamo ora al secondo punto e per fare questo dobbiamo trovare i
vettori di S che appartengono anche ad S' ovvero che soddisfano
l'equazione x+3y-z=0.Ora il generico vettore di S si esprime come
combinazione lineare mediante due parametri $lambda,mu$
dei vettori base di S e quindi tale vettore generico e':
$v=lambda(3,1,0)+mu(0,-2,1)=(3lambda,lambda-2mu,mu)$
Sostituendo nell'equazione abbiamo:
$6lambda=7mu$ e scegliendo $lambda=7k,mu=6k$ si ha:
v=k(21,-5,6)
In conclusione una base di W puo' essere proprio il vettore (21,-5,6) e
la dimensione e' ovviamente 1
karl
oooo karl...
come fai a mettere le matrici?
come fai a mettere le matrici?
Se scrivi così : ((1,2),(3,4)) però il tutto racchiuso tra il simbolo del dollaro ottieni : $ ((1,2),(3,4)) $
$((1,2),(3,4))$, $((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
wowwwwwwwwwwww
wowwwwwwwwwwww
Grazie, siete stati gentilissimi
in particolare Karl
Ciao ANNA
in particolare Karl
Ciao ANNA
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