Esercizio di algebra
si dimostri la seguente identità
$I=1/s(sI-A)(I+A/s+A^2/s^2+...)$ dove $A$ è una matrice $nxn$ e $s$ uno scalare.
io avevo pensato di riscrivere la formula come $1/s(sI-A\)sum _{ i=0} ^ oo A^i/s^i$ e ora non saprei come andare avanti per dire che è uguale alla matrice identità
$I=1/s(sI-A)(I+A/s+A^2/s^2+...)$ dove $A$ è una matrice $nxn$ e $s$ uno scalare.
io avevo pensato di riscrivere la formula come $1/s(sI-A\)sum _{ i=0} ^ oo A^i/s^i$ e ora non saprei come andare avanti per dire che è uguale alla matrice identità
Risposte
Innanzi tutto è più algebra lineare che non algebra... E poi non sono sicuro che valga per ogni matrice. Forse che il raggio spettrale è minore di 1?
E poi, hai provato a troncare al finito la serie e a sviluppare i conti? Secondo me potrebbe saltare fuori una serie telescopica...
P.S. Nota la forte analogia formale con [tex]\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n[/tex] se [tex]|x| < 1[/tex]...
E poi, hai provato a troncare al finito la serie e a sviluppare i conti? Secondo me potrebbe saltare fuori una serie telescopica...
P.S. Nota la forte analogia formale con [tex]\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n[/tex] se [tex]|x| < 1[/tex]...
Ho provato ha fermarmi al secondo grado della sommatoria $I=I^2+A^2I/s-A^2/s^2+A^3/s^3$ .
Ma, a parte che
è falso di per sé (l'uguale non proprio corretto!), facendo i conti mi risulta che ho ragione io:
[tex]\displaystyle \frac{1}{s}(sI - A) \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^k}{s^k} = \left(I - \frac{A}{s} \right) \cdot \sum_{k = 0}^n \frac{A^k}{s^k} = \left( \sum_{k = 0}^n \frac{A^k}{s^k} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^{k+1}}{s^{k+1}} \right) =[/tex]
[tex]\displaystyle = \left( I - \frac{A^{n+1}}{s^{n+1}} \right)[/tex]
Prendendo il limite per [tex]n \to +\infty[/tex], a patto che
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{A^n}{s^n} = \mathbf{0}[/tex] (matrice nulla)
otteniamo che
[tex]\displaystyle \frac{1}{s}(sI - A) \cdot \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{A^k}{s^k} = I[/tex]
Ora la condizione sul limite è equivalente a chiedere che il raggio spettrale di [tex]\frac{1}{s} A[/tex] sia minore di 1, o, se preferisci, che [tex]s[/tex] sia maggiore del modulo di ogni autovalore della matrice (vedi qui se non sei convinta, il primo teorema che riportano - e dimostrano - è proprio quello che ho citato).
"francalanci":
$I = I^2 + A^2 I/s - A^2/s^2 + A^3/s^3$
è falso di per sé (l'uguale non proprio corretto!), facendo i conti mi risulta che ho ragione io:
[tex]\displaystyle \frac{1}{s}(sI - A) \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^k}{s^k} = \left(I - \frac{A}{s} \right) \cdot \sum_{k = 0}^n \frac{A^k}{s^k} = \left( \sum_{k = 0}^n \frac{A^k}{s^k} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^{k+1}}{s^{k+1}} \right) =[/tex]
[tex]\displaystyle = \left( I - \frac{A^{n+1}}{s^{n+1}} \right)[/tex]
Prendendo il limite per [tex]n \to +\infty[/tex], a patto che
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{A^n}{s^n} = \mathbf{0}[/tex] (matrice nulla)
otteniamo che
[tex]\displaystyle \frac{1}{s}(sI - A) \cdot \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{A^k}{s^k} = I[/tex]
Ora la condizione sul limite è equivalente a chiedere che il raggio spettrale di [tex]\frac{1}{s} A[/tex] sia minore di 1, o, se preferisci, che [tex]s[/tex] sia maggiore del modulo di ogni autovalore della matrice (vedi qui se non sei convinta, il primo teorema che riportano - e dimostrano - è proprio quello che ho citato).
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
"francalanci":
si dimostri la seguente identità
$I=1/s(sI-A)(I+A/s+A^2/s^2+...)$ dove $A$ è una matrice $nxn$ e $s$ uno scalare.
io avevo pensato di riscrivere la formula come $1/s(sI-A\)sum _{ i=0} ^ oo A^i/s^i$ e ora non saprei come andare avanti per dire che è uguale alla matrice identità
Consideriamo l'insieme delle serie formali allora
[tex]1 = (1 - T)(1+ T + T^2 + T^3 \cdots)[/tex]
Infatti [tex](1 - T)(1+ T + T^2 + T^3 \cdots) = 1+ T + T^2 + T^3 \cdots - T - T^2 - T^3 \cdots = 1[/tex]
Da questa e con alcune considerazioni preliminari sulla convergenza della seconda serie nel dominio delle matrici si arriva subito alla soluzione (anche senza calcolo dei limiti).
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